Cálculo para niños
La palabra cálculo viene del latín calculus, que significa "piedrecita". Antiguamente, se usaban piedrecitas para contar o para ayudar a hacer cuentas. Hoy en día, "cálculo" se refiere al resultado de la acción de calcular. Calcular es hacer las operaciones necesarias para saber el resultado de algo que planeamos, o para entender las consecuencias de datos que ya conocemos.
En matemáticas y lógica, "cálculo" se usa de una forma más específica. Aquí, el cálculo es un método o algoritmo (una serie de pasos) que nos permite saber qué consecuencias se derivan de datos que ya conocemos, los cuales están organizados con símbolos y reglas.
Contenido
¿Qué es el cálculo?
El cálculo es una actividad muy natural para los seres humanos. Desde que empezamos a relacionar ideas y cosas en nuestra mente, estamos haciendo una forma de cálculo. El razonamiento lógico que usamos a diario es una forma básica de cálculo. El cálculo lógico-matemático aparece cuando nos damos cuenta de esta capacidad de razonar y tratamos de organizarla con reglas y símbolos.
Podemos pensar en dos tipos de "operaciones" cuando hablamos de cálculo:
- Operaciones para lograr un objetivo: Como predecir, planificar, estimar o prevenir. Estas operaciones incluyen muchas habilidades de pensamiento y comportamiento. Son como argumentos o razones que justifican una meta práctica o de conocimiento.
- Operaciones formales (algoritmos): Son pasos definidos que se aplican a datos conocidos o a símbolos matemáticos. Las conclusiones o resultados de estos algoritmos se obtienen siguiendo reglas muy estrictas.
El resultado de un cálculo puede ser:
- La conclusión de un proceso de razonamiento.
- La solución a un problema, aplicando directamente los datos iniciales.
- Un modelo de relaciones que ya se ha establecido como una teoría científica, y que tiene sentido para entender ciertas realidades.
- Un juego formal con símbolos y reglas, que es el cálculo lógico-matemático puro.
En este artículo, nos centraremos en el cálculo lógico-matemático, que es el uso más común de la palabra hoy en día. De hecho, en algunas universidades, "Cálculo" es el nombre de una asignatura específica de matemáticas, como el cálculo infinitesimal o el cálculo diferencial.
Historia del cálculo: ¿Cómo empezó?
Los inicios en la Antigüedad
Como ya dijimos, la palabra "cálculo" viene de calculus, que eran piedrecitas. Estas piedrecitas, ensartadas en tiras, formaron el ábaco romano y el suanpan chino, que fueron las primeras máquinas para contar.
Los primeros métodos de cálculo, como los algoritmos, fueron usados por los geómetras griegos. Por ejemplo, Eudoxo de Cnido usaba aproximaciones para medir figuras curvas, y Diofanto fue un pionero del álgebra.
Arquímedes es considerado uno de los matemáticos más grandes de la historia. Él usó un método llamado "de agotamiento" para calcular el área bajo una parábola y dio una aproximación muy precisa del número Pi. También creó la espiral que lleva su nombre y sistemas para expresar números muy grandes.
La idea de que el cálculo es una forma de razonamiento abstracto que se puede aplicar a todo el conocimiento se la debemos a Aristóteles. Él fue el primero en organizar y simbolizar los tipos de razonamientos lógicos, como los silogismos.
Los algoritmos que usamos hoy para el cálculo aritmético son el resultado de un largo proceso histórico. Las contribuciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX fueron muy importantes.
En el siglo XIII, Fibonacci trajo a Europa los números arábigos y el sistema decimal. Se introdujo el número 0, que ya se conocía en la India, y así se formó el sistema de numeración decimal con diez cifras y valor posicional. Los sistemas de numeración antiguos (de Babilonia, Egipto, Grecia o Roma) hacían muy difícil hacer cálculos de forma mecánica.
El sistema decimal fue clave para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes en la Edad Media, cuando empezó el capitalismo.
El Renacimiento y el avance del álgebra
El sistema contable que usamos hoy fue introducido por Luca Pacioli en 1494. Fue creado para las necesidades de los negocios en el Renacimiento.
El desarrollo del álgebra, con la introducción de símbolos y la resolución de ecuaciones, fue esencial. Grandes matemáticos como Tartaglia, Stevin, Cardano y Vieta contribuyeron a esto. El álgebra fue fundamental para resolver muchos problemas de la época, lo que llevó a los grandes descubrimientos científicos del siglo XVII.
Los siglos XVII y XVIII: El cálculo infinitesimal
En el siglo XVII, el cálculo tuvo un enorme desarrollo. Los matemáticos más importantes fueron Descartes, Pascal y, sobre todo, Leibniz e Newton, quienes crearon el cálculo infinitesimal. Este cálculo es tan importante que a veces se le llama simplemente "el cálculo".
El cálculo formal, como un algoritmo para el razonamiento, se volvió muy importante. Permitió establecer relaciones matemáticas entre diferentes medidas, lo cual fue esencial para el progreso de la física. La física se convirtió en un nuevo modelo de ciencia por la precisión y seguridad que ofrecía el cálculo matemático.
A partir de entonces, el cálculo permitió crear modelos de la realidad física. Si estos modelos se confirmaban con experimentos, la teoría se consideraba confirmada. Fue la época de la consolidación del método científico, con la Teoría de la Gravitación Universal de Newton como el mejor ejemplo.
Los siglos XIX y XX: Nuevas ideas y computadoras
Durante los siglos siglo XIX y XX, el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos basados en el cálculo fueron impresionantes. Se aplicaron en mecánica, electromagnetismo, radioactividad y astronomía. Las geometrías no euclidianas encontraron aplicación en modelos teóricos de astronomía y física.
La lógica también cambió mucho. La formalización con símbolos permitió integrar las leyes lógicas en el cálculo matemático. La distinción entre razonamiento lógico y cálculo matemático se volvió casi solo una cuestión práctica.
En la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX, matemáticos como Frege, Bolzano, Boole, Whitehead y Russell generalizaron el concepto de cálculo lógico. Se crearon métodos de cálculo muy poderosos, especialmente al poder tratar conjuntos con infinitos elementos, lo que llevó a los números transfinitos de Cantor.
Sin embargo, los intentos de axiomatizar el cálculo como un sistema perfecto (por Hilbert y Poincaré) llevaron a descubrir algunas paradojas. Esto hizo que Gödel demostrara en 1931 que no es posible crear un sistema de cálculo perfecto que sea a la vez consistente (sin contradicciones), decidible (que siempre se pueda saber si una expresión es un teorema) y completo (que se pueda demostrar cualquier teorema). Esto tuvo grandes implicaciones para la lógica, las matemáticas y la ciencia.
El cálculo en la actualidad
Hoy en día, el cálculo, especialmente el cálculo lógico interpretado como un sistema binario (con ceros y unos) y materializado en circuitos electrónicos, ha crecido de forma impresionante gracias a la potencia de las computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas es asombrosa: pueden hacer millones de operaciones por segundo.
El cálculo se ha convertido en una herramienta fundamental para la investigación científica. Permite crear modelos para las teorías científicas, y el cálculo numérico es especialmente importante en esto.
Cálculo infinitesimal: Un vistazo rápido
El cálculo infinitesimal, a menudo llamado simplemente "cálculo", tiene sus raíces en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos imaginándolos como formados por un número infinito de secciones muy delgadas (infinitesimales). Eudoxo y Arquímedes usaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo usando polígonos regulares inscritos con cada vez más lados. Sin embargo, las dificultades con los números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron que se creara una teoría sistemática del cálculo en la antigüedad.
En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli usaron los infinitesimales. Descartes y Fermat usaron el álgebra para encontrar áreas y tangentes (lo que hoy llamamos integración y derivación). Fermat e Isaac Barrow ya sospechaban que estos dos cálculos estaban relacionados. Pero fueron Newton (alrededor de 1660) en Inglaterra y Leibniz en Alemania (alrededor de 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como el teorema fundamental del cálculo. Leibniz creó los símbolos para la derivada, el diferencial y la "∫" para la integración.
El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravitación universal, fue anterior al de Leibniz, pero la publicación tardía de Newton causó debates sobre quién fue el primero. Newton usó el cálculo en su obra "Principios matemáticos de filosofía natural", llamando a su método "fluxiones". Leibniz usó el cálculo para el problema de la tangente a una curva, dándole un enfoque más filosófico. Al final, se adoptó la notación de Leibniz por ser más práctica.
En el siglo XVIII, el cálculo se aplicó mucho más, pero el uso impreciso de cantidades infinitas e infinitesimales, y la intuición geométrica, aún causaban confusión. La idea de "límite", que es central en el cálculo, era todavía vaga.
En el siglo XIX, matemáticos como Bolzano y Cauchy definieron con precisión los conceptos de límite y derivada. Cauchy y Riemann hicieron lo mismo con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Fue el período en que se establecieron las bases sólidas del cálculo. Por ejemplo, se descubrió que las funciones que se pueden derivar son continuas, y que las funciones continuas se pueden integrar. En el siglo XX, el análisis no convencional legitimó el uso de los infinitesimales, y la llegada de las computadoras aumentó las aplicaciones y la velocidad del cálculo.
Hoy en día, el cálculo infinitesimal es muy importante en la educación y en la ciencia. Se ha extendido a áreas como las ecuaciones diferenciales, el cálculo de vectores, el cálculo de variaciones y el análisis complejo.
El desarrollo y uso del cálculo ha tenido un impacto enorme en casi todas las áreas de la vida moderna. Es la base del cálculo numérico que se usa en casi todos los campos técnicos y científicos, especialmente en la física. Prácticamente todos los avances técnicos modernos, como la construcción, la aviación, el transporte o la meteorología, usan el cálculo.
Como complemento al cálculo, para sistemas donde los elementos no son continuos, se ha desarrollado una rama especial llamada Matemática discreta.
Cálculo lógico: Las reglas del razonamiento
El cálculo lógico es un sistema de reglas para obtener una conclusión a partir de una o varias ideas (llamadas premisas). El cálculo lógico necesita un conjunto consistente de axiomas (verdades básicas) y unas reglas de inferencia. Su objetivo es poder deducir de forma automática proposiciones lógicas que son verdaderas a partir de esos axiomas.
En nuestra vida diaria, usamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de ideas que creemos verdaderas para llegar a una conclusión que se deriva de ellas, siguiendo las leyes de la lógica natural.
La lógica, como ciencia formal, se encarga de analizar y organizar estas leyes, darles un fundamento y convertirlas en reglas. Estas reglas permiten transformar unas ideas (premisas) en otras (conclusiones) de forma rigurosa y efectiva. Así, si las premisas son verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera.
Al aplicar las reglas de un cálculo lógico a las ideas de un argumento, usando símbolos adecuados, creamos un modelo o sistema deductivo. En este sistema, las reglas de formación de fórmulas definen la sintaxis de un lenguaje formal de símbolos sin significado. Las reglas de transformación del sistema permiten cambiar estas expresiones en otras equivalentes, lo que significa que ambas tienen siempre el mismo valor de verdad.
Un lenguaje formal para el cálculo lógico tiene:
- Elementos básicos: Un conjunto de símbolos o ideas simples.
- Reglas para formar expresiones: Normas que nos dicen cuándo una combinación de símbolos es una expresión válida.
- Reglas para transformar expresiones: Normas que nos permiten obtener nuevas expresiones válidas a partir de otras que ya tenemos.
Cuando en un cálculo se establecen algunas expresiones como verdades iniciales o axiomas, se le llama un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido sería "perfecto" si cumpliera tres condiciones:
- Es consistente: No puede haber contradicciones. Si una expresión es verdadera, su negación no puede serlo al mismo tiempo.
- Es decidible: Siempre podemos encontrar un método para saber si una expresión es un teorema del sistema.
- Es completo: Siempre podemos demostrar que una expresión es un teorema del sistema.
Sin embargo, la misma lógica-matemática ha demostrado que un sistema de cálculo perfecto con estas tres condiciones "no es posible" (como lo mostró el Teorema de Gödel).
El lenguaje natural y el cálculo lógico
El cálculo lógico es útil porque se puede aplicar a muchas cosas. Una de ellas es el lenguaje natural (el que hablamos todos los días). Podemos "traducir" las expresiones de nuestro lenguaje a las reglas y símbolos de un cálculo lógico, manteniendo su sentido de verdad.
Las diferentes formas en que tratamos las expresiones del lenguaje al formalizarlas como proposiciones lógicas dan lugar a distintos sistemas de formalización y cálculo:
- Cálculo proposicional o de enunciados: Trata las oraciones simples como un todo, sin analizar su interior.
- Cálculo de predicados o cuantificacional: Analiza las oraciones para ver cómo una característica (predicado) se aplica a sujetos (todos, algunos o uno específico).
Galería de imágenes
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Reconstrucción de un ábaco romano.
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Un ábaco moderno.
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Página del artículo de Leibniz "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705
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George Boole
Véase también
