Área para niños

Enciclopedia para niños

El área es una medida que nos dice qué tan grande es una superficie o una figura plana. Imagina que quieres saber cuánto espacio ocupa una alfombra en el suelo; esa medida sería su área. Se expresa en unidades de medida especiales llamadas unidades de superficie, como los metros cuadrados.

El área es una magnitud que nos ayuda a entender la extensión de algo en dos dimensiones. Por ejemplo, el área de una hoja de papel o de un campo de fútbol.

Para figuras planas con lados rectos, como los polígonos, es más fácil entender el área. Podemos dividir cualquier polígono en triángulos y sumar el área de cada uno. A veces, la palabra "área" se usa como sinónimo de "superficie", pero el área es la medida de esa superficie.

Cuando hablamos de objetos con superficies curvas, como una esfera (una pelota), un cono o un cilindro, el área de su parte exterior se llama área superficial. Los antiguos griegos ya sabían cómo calcular el área de las superficies de formas sencillas. Para figuras más complejas, se usan métodos matemáticos avanzados.

Área, coloreada, de tres figuras geométricas simples

Este cuadrado y este disco tienen la misma área (véase: cuadratura del círculo).

¿Cómo se descubrió el concepto de área?

La idea de medir el tamaño de una región dentro de una figura geométrica es muy antigua. En el antiguo Egipto, el río Nilo se desbordaba cada año e inundaba los campos. Después, necesitaban calcular el área de cada parcela para saber dónde estaban los límites. Para resolver esto, los egipcios inventaron la geometría, según el historiador Heródoto.

El método de calcular el área de un polígono sumando las áreas de triángulos fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 a.C. Calcular el área de una figura curva era más difícil. El método exhaustivo consistía en dibujar polígonos dentro y fuera de la figura, aumentando el número de lados de esos polígonos para acercarse cada vez más al área real. Con este método, Eudoxo logró una buena aproximación para el área de un círculo. Más tarde, Arquímedes usó este sistema para resolver problemas similares y para calcular el valor aproximado del número π.

¿Cómo se calcula el área de un círculo?

En el siglo V a.C., Hipócrates de Quíos fue el primero en demostrar que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro. Esto significa que si el diámetro se duplica, el área se multiplica por cuatro. Eudoxo de Cnido, también en el siglo V a.C., descubrió que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio.

El matemático Arquímedes usó la geometría euclidiana para demostrar que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la misma longitud que la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo. La circunferencia es 2πr, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que nos da la famosa fórmula del área del círculo: πr². Arquímedes aproximó el valor de π dibujando polígonos regulares dentro y fuera de un círculo, aumentando el número de lados para que el área del polígono se acercara cada vez más a la del círculo.

En 1761, el científico suizo Johann Heinrich Lambert demostró que π es un número irracional, lo que significa que no se puede escribir como una fracción simple. En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π² también es irracional. Finalmente, en 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es un número trascendental, lo que significa que no es la solución de ninguna ecuación polinómica con números enteros.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo?

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo si conoces la longitud de sus tres lados. Esta fórmula se encuentra en su libro Métrica, escrito alrededor del año 60 d.C. Se cree que Arquímedes ya conocía esta fórmula mucho antes.

En el año 499, Aryabhata, un matemático y astrónomo de la India, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en su libro Aryabhatiya.

Los chinos también descubrieron una fórmula similar a la de Herón de forma independiente. Fue publicada en 1247 en el libro Shushu Jiuzhang ("Tratado matemático en nueve secciones"), escrito por Qin Jiushao.

¿Qué es la confusión entre área y perímetro?

Cuanto más cortes se hacen, más disminuye el área y aumenta el perímetro.

El perímetro es la medida del contorno de una figura, mientras que el área es la medida de su superficie. Aunque son diferentes, a veces se confunden. Si agrandamos o reducimos una figura, tanto su área como su perímetro cambian. Por ejemplo, si un terreno se muestra en un mapa a escala 1:10 000, el perímetro real se calcula multiplicando el perímetro del mapa por 10 000, y el área real se calcula multiplicando el área del mapa por 10 000².

Sin embargo, no hay una relación directa entre el área y el perímetro de cualquier figura. Por ejemplo, un rectángulo con un área de un metro cuadrado puede tener diferentes perímetros. Podría medir 0.5 metros de largo por 2 metros de ancho (perímetro de 5 metros), o 0.001 metros de largo por 1000 metros de ancho (perímetro de más de 2000 metros). El filósofo Proclo (siglo V d.C.) cuenta que los campesinos griegos a veces dividían sus campos "equitativamente" según el perímetro, pero esto resultaba en áreas diferentes. La producción de un campo depende de su área, no de su perímetro.

Fórmulas para calcular el área

Fórmulas de polígonos

Para un polígono simple (que no se cruza a sí mismo) cuyos coordenadas de sus vértices $(x_i,y_i)$ se conocen, el área se puede calcular con la fórmula del área de Gauss:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert

Rectángulos y cuadrados

El área de este rectángulo es

l\times a

La fórmula más sencilla para el área es la de un rectángulo. Si un rectángulo tiene un largo $l$ y un ancho $a$ , su área es:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A=l\times a (rectángulo).

Para un cuadrado, como todos sus lados son iguales (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): l = a = c ), la fórmula del área es:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A=c^2 (cuadrado).

Paralelogramos y triángulos

Un diagrama que muestra cómo un paralelogramo puede convertirse en un rectángulo.

Muchas fórmulas de área se basan en la idea de "cortar y pegar" figuras. Por ejemplo, un paralelogramo (una figura de cuatro lados con lados opuestos paralelos) se puede transformar en un rectángulo. Si cortas un triángulo de un lado y lo mueves al otro, obtienes un rectángulo. Por lo tanto, el área de un paralelogramo es igual a la de un rectángulo:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A=b\times h (paralelogramo).

Donde $b$ es la base y $h$ es la altura.

Un paralelogramo dividido en dos triángulos iguales.

Un paralelogramo también se puede dividir en dos triángulos iguales cortándolo por una diagonal. Esto significa que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \frac{1}{2}bh (triángulo).

Se pueden usar ideas similares para encontrar las fórmulas de área de otras figuras como el trapecio.

Área de las formas curvas

Círculos

Un círculo puede dividirse en sectores reordenados para formar un paralelogramo aproximado.

La fórmula del área de un círculo (o más precisamente, el área de un disco) se basa en un método similar. Si divides un círculo de radio $r$ en muchos sectores pequeños, cada sector parece un triángulo. Puedes reorganizar estos sectores para formar una figura que se parece mucho a un paralelogramo. La altura de este "paralelogramo" es $r$ , y su ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, que es $\pi r$ . Así, el área total del círculo es:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A=\pi r^2 (círculo).

Cuantos más sectores dividas el círculo, más precisa será esta aproximación. El cálculo nos permite demostrar que el límite de las áreas de estos paralelogramos aproximados es exactamente $\pi r^2$ .

Elipses

Arquímedes demostró que el área superficial de una esfera es exactamente cuatro veces el área de un disco plano del mismo radio.

La fórmula del área de una elipse (una forma ovalada) está relacionada con la del círculo. Para una elipse con semiejes $x$ e $y$ (que son como los radios en un círculo, pero en dos direcciones diferentes), la fórmula es:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A= \pi xy

Área superficial

Área del triángulo

= {b\times h \over 2}

Las fórmulas básicas para el área superficial (el área de la "piel" de un objeto tridimensional) se pueden obtener a menudo "desplegando" la superficie. Por ejemplo, si cortas la superficie lateral de un cilindro a lo largo, puedes aplanarla para formar un rectángulo. De manera similar, la superficie lateral de un cono se puede aplanar para formar un sector de un círculo.

La fórmula para el área superficial de una esfera es más compleja porque no se puede aplanar sin deformarse. Arquímedes fue el primero en encontrar esta fórmula en su obra Sobre la esfera y el cilindro. La fórmula es:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A=4\pi r^2 (esfera).

Donde $r$ es el radio de la esfera.

Fórmulas generales

Áreas de figuras bidimensionales

Un triángulo: $\tfrac12Bh$ (donde $B$ es la base y $h$ es la altura). Si conoces los tres lados ( $a$ , $b$ , $c$ ), puedes usar la fórmula de Herón: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , donde $s = \tfrac12(a + b + c)$ es el semiperímetro.
Un polígono simple en una cuadrícula de puntos (con vértices en los puntos de la cuadrícula): el área es $i + \frac{b}{2} - 1$ , donde $i$ es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y $b$ es el número de puntos en el borde. Esto se conoce como teorema de Pick.

Área en el cálculo

La integración puede medir el área bajo una curva, definida por

f(x)

, entre dos puntos (aquí

a

b

El cálculo es una herramienta matemática poderosa para encontrar áreas, especialmente de formas irregulares o bajo curvas.

El área bajo una curva (una línea que representa una función matemática) y el eje horizontal, entre dos puntos $a$ y $b$ , se calcula con una integral definida:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \int_a^{b} f(x) \, dx

El área entre las gráficas de dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$ , se calcula restando sus integrales:

$A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx,$ donde $f(x)$ es la función que está por encima de la otra.

El área entre dos gráficas se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones.

Área superficial de las figuras tridimensionales

Cono: $\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)$ , donde $r$ es el radio de la base y $h$ es la altura. También se puede escribir como $\pi r^2 + \pi r l$ , donde $l$ es la altura inclinada del cono.
cubo: $6a^2$ , donde $a$ es la longitud de una arista.
cilindro: $2\pi r(r + h)$ , donde $r$ es el radio de la base y $h$ es la altura.
prisma: $2B + Ph$ , donde $B$ es el área de una base, $P$ es el perímetro de una base y $h$ es la altura.
pirámide: $B + \frac{PL}{2}$ , donde $B$ es el área de la base, $P$ es el perímetro de la base y $L$ es la longitud de la inclinación.
prisma rectangular: $2 (\ell a + \ell h + a h)$ , donde $l$ es la longitud, $a$ es la anchura y $h$ es la altura.

Relación área-perímetro

Para una figura cerrada en un plano, existe una relación entre su área ( $A$ ) y su perímetro ( $L$ ):

$\frac{A}{L^2} \le \frac{1}{4\pi}$

Esta relación nos dice que, para un perímetro dado, el círculo es la figura que encierra la mayor área. La igualdad solo se cumple para un círculo; para cualquier otra forma, el área será menor en proporción a su perímetro.

Lista de fórmulas comunes

Otras fórmulas comunes para el área:
Forma	Fórmula	Variables
Rectángulo	$A=ab$
Triángulo rectángulo	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \frac{ab}{2}
Triángulo	$A=\frac12bh \,\!$
Triángulo	$A=\frac12 a b \sen(\gamma)\,\!$
Triángulo (fórmula de Herón)	$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!$	$s =\tfrac 1 2 (a+b+c)$
Triángulo isósceles	$A=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-c^2}$
Triángulo equilátero	$A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\,\!$
Rombo/deltoide	$A=\frac12de$
Paralelogramo	$A=ah_a\,\!$
Trapecio	$A=\frac{(a+c)h}{2} \,\!$
Hexágono regular	$A=\frac{3}{2} \sqrt{3}a^2\,\!$
Octágono regular	$A=2(1+\sqrt{2})a^2\,\!$
Polígono regular (de lados $n$ )	$A=n\frac{ar}{2}=\frac{pr}{2}$ $\quad =\tfrac 1 4 na^2\cot(\tfrac \pi n)$ $\quad = nr^2 \tan(\tfrac \pi n)$ $\quad =\tfrac{1}{4n}p^2\cot(\tfrac \pi n)$ $\quad =\tfrac{1}{2}nR^2 \sen(\tfrac{2\pi}{n}) \,\!$	$p=na\$ (perímetro) $r=\tfrac a 2 \cot(\tfrac \pi n),$ $\tfrac a 2= r\tan(\tfrac \pi n)=R\sen(\tfrac \pi n)$ $r:$ radio de la circunferencia inscrita $R:$ radio de la circunferencia circunscrita
Círculo	$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$ ( $d=2r:$ diámetro)
Sector circular	$A=\frac{\theta}{2}r^2=\frac{L \cdot r}{2}\,\!$
Elipse	$A=\pi ab \,\!$
Integral	$A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x ,\ f(x)\ge 0$
	Área superficial
Esfera	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p = 4\pi r^2 = \pi d^2
Ortoedro	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p = 2(ab+ac+bc)
Cilindro (incl. parte inferior y superior)	$A = 2 \pi r (r + h)$
Cono (incl. la parte inferior)	$A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2})$
Toro	$A = 4\pi^2 \cdot R \cdot r$
Superficie de revolución	$A = 2\pi\int_a^b\! f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x$ (rotación alrededor del eje x)

Estas fórmulas nos ayudan a encontrar las áreas de muchas formas comunes. Las áreas de polígonos irregulares se pueden calcular con la fórmula de la lazada.

Unidades de medida de superficies

Esta sección es un extracto de Unidades de superficie.

Metro cuadrado de pasto

Las unidades de superficie son medidas estándar que usamos para comparar y comunicar el tamaño de una superficie, área o extensión de un objeto, terreno o figura geométrica.

Medir es la técnica de asignar un número a una propiedad física, comparándola con un patrón que tomamos como unidad. Si usamos diferentes unidades, la medida de una superficie dará resultados distintos. Por eso, es importante tener unidades de medida únicas para que la información sea fácil de entender.

Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias unidades para medir el área:

Múltiplos (unidades más grandes)

Kilómetro cuadrado (km²): 1 000 000 metros cuadrados.
Hectómetro cuadrado (hm²) o hectárea (ha): 10 000 metros cuadrados.
Decámetro cuadrado (dam²) o área (a): 100 metros cuadrados.

Unidad básica

metro cuadrado (m²): Es la unidad principal del SI para el área.

Submúltiplos (unidades más pequeñas)

Decímetro cuadrado (dm²): 0.01 m² (una centésima de metro cuadrado).
Centímetro cuadrado (cm²): 0.0001 m² (una diezmilésima de metro cuadrado).
Milímetro cuadrado (mm²): 0.000001 m² (una millonésima de metro cuadrado).
barn: 10⁻²⁸ m². Esta unidad se usa en física nuclear para describir el área de interacción de partículas muy pequeñas.

Sistema anglosajón de unidades

En el Sistema anglosajón de unidades, algunas unidades comunes para el área son:

pulgada cuadrada
pie cuadrado
yarda cuadrada
El acre se usa mucho para medir terrenos. Un acre equivale a 4840 yardas cuadradas o 43 560 pies cuadrados.

Véase también

En inglés: Area Facts for Kids

Unidad de medida
Metrología
Áreas de figuras geométricas

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