Leonhard Euler para niños

Datos para niños Leonhard Euler
Leonhard Euler por Jakob Emanuel Handmann (hacia 1756) Deutsches Museum, Múnich
Información personal
Nombre de nacimiento	Leonhard Paul Euler
Nacimiento	15 de abril de 1707 Basilea, Suiza
Fallecimiento	18 de septiembre de 1783 (76 años) San Petersburgo, Imperio ruso
Causa de muerte	Hemorragia cerebral
Sepultura	Smolensky Lutheran y Cementerio de San Lázaro de San Petersburgo
Residencia	Prusia, Rusia
Nacionalidad	Suiza, Rusa
Religión	Protestantismo
Familia
Padres	Marguerite Brucker Paul Euler
Cónyuge	Katharina Gsell (1734-1773) Salome Abigail Gsell (1776-1783)
Hijos	Johann Euler
Educación
Educación	Doctor en Filosofía
Educado en	Universidad de Basilea
Supervisor doctoral	Johann Bernoulli
Alumno de	Johann Bernoulli
Información profesional
Área	Matemáticas, Física, y Filosofía
Empleador	Academia de Ciencias de Rusia Academia Prusiana de las Ciencias
Estudiantes doctorales	Johann Friedrich Hennert Nicolas Fuss Stepán Rumovski
Alumnos	Anders Johan Lexell, Stepán Rumovski, Nicolas Fuss, Johann Euler y Joseph-Louis Lagrange
Obras notables	teorema de Euler Teorema de rotación de Euler teorema geométrico de Euler Conjetura de Euler teorema de poliedros de Euler ecuaciones de Euler-Lagrange Función φ de Euler identidad de Euler Identidad de los cuatro cuadrados de Euler fórmula de Euler función gamma integral de Gauss constante de Euler-Mascheroni Números afortunados de Euler diagrama de Euler Circunferencia de los nueve puntos recta de Euler
Miembro de	Real Academia de las Ciencias de Suecia Academia Prusiana de las Ciencias (desde 1741) Royal Society (desde 1747) Academia de Ciencias de Francia (desde 1755) Academia de Ciencias de Turín (desde 1760) Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias (desde 1782)
Distinciones	Miembro de la Royal Society Miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias (1782)
Firma

Leonhard Paul Euler (pron. AFI: [ˈɔʏlɐ] en alemán moderno, AFI: [ˈoiler] en español) (Basilea, Suiza; 15 de abril de 1707-San Petersburgo, Imperio ruso; 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler y también llamado Leonardo Euler en español, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos, muy conocido por el número de Euler (e), número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física.

Vivió en San Petersburgo (Rusia), y también en Berlín (Prusia) la mayor parte de su vida adulta y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como, por ejemplo, la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, la óptica y la astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más grandes, más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros».

Vida y obra

Leonhard Euler fue un matemático suizo nacido en Basilea, Suiza, en 1707. Creció en Riehen, cerca de Basilea, y era hijo de un pastor calvinista llamado Paul Euler y de Marguerite Brucker.

Desde una edad temprana, mostró un talento excepcional para las matemáticas y recibió lecciones particulares de Johann Bernoulli, un matemático destacado de la época.

Euler estudió filosofía en la Universidad de Basilea y se graduó en 1723. Luego, continuó sus estudios en matemáticas y física.

En 1727, se mudó a San Petersburgo, Rusia, donde trabajó en la Academia de Ciencias de Rusia y se convirtió en uno de los matemáticos más influyentes de la época.

Euler se casó con Katharina Gsell y tuvo trece hijos, aunque solo cinco de ellos sobrevivieron hasta la adultez.

En 1741, aceptó una oferta para trabajar en la Academia de Berlín, donde pasó 25 años y realizó numerosas contribuciones significativas a las matemáticas y la física.

Euler escribió más de 800 libros y artículos a lo largo de su vida y fue uno de los matemáticos más prolíficos de la historia.

A pesar de sus notables logros, Euler tuvo conflictos con el rey Federico II de Prusia y dejó Berlín en 1766.

Euler regresó a San Petersburgo, donde pasó sus últimos años trabajando en matemáticas y dejando un legado duradero en la disciplina.

Falleció en San Petersburgo en 1783, pero su trabajo sigue siendo fundamental en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia.

Euler también escribió una serie de "Cartas a una Princesa alemana" que popularizaron sus ideas científicas entre un público más amplio.

A pesar de los desafíos y conflictos en su vida, Euler es recordado como uno de los matemáticos más brillantes y productivos de todos los tiempos.

Retrato de Euler del año 1753 dibujado por Jakob Emanuel Handmann. El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, así como un posible estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien más tarde Euler tuvo problemas de cataratas.

La vista de Leonhard Euler empeoró mucho a lo largo de su vida. En 1735, casi murió por una fiebre grave, y tres años después quedó casi ciego de un ojo. Euler pensaba que su trabajo en cartografía para la Academia de San Petersburgo había contribuido a su problema de visión en ese ojo.

Con el tiempo, su vista empeoró aún más mientras vivía en Alemania, y Federico II lo llamaba "el Cíclope". Luego, desarrolló cataratas en su único ojo restante, el izquierdo, lo que lo dejó prácticamente ciego en cuestión de semanas. Sorprendentemente, sus problemas de visión no afectaron su capacidad intelectual, ya que pudo compensarlo con su increíble habilidad para hacer cálculos mentales.

A pesar de estar ciego, Euler continuó trabajando y dictaba sus investigaciones a su hijo mayor. Esto aumentó aún más el respeto que la comunidad científica tenía por él. El matemático francés François Arago lo describió como alguien que hacía cálculos con facilidad, como las personas respiran o como las águilas se mantienen en el aire.

Tumba de Euler en el Monasterio de Alejandro Nevski.

Después de un tiempo en Alemania, Leonhard Euler aceptó regresar a la Academia de San Petersburgo en Rusia en 1766, donde pasó el resto de su vida. Sin embargo, esta segunda etapa en Rusia estuvo marcada por tragedias: en 1771, un incendio en San Petersburgo destruyó su casa y casi le cuesta la vida, y en 1773, perdió a su esposa Katharina Gsell después de 40 años de matrimonio. Tres años más tarde, Euler se volvió a casar con Salome Abigail Gsell, hermana de su primera esposa, y este segundo matrimonio duró hasta su muerte.

El 18 de septiembre de 1783, Euler falleció en San Petersburgo después de sufrir un derrame cerebral. Fue enterrado junto con su primera esposa en el Cementerio Luterano de la isla Vasilievski. Más tarde, los soviéticos trasladaron sus restos al Monasterio de Alejandro Nevski.

Nicolas de Condorcet, un matemático y filósofo francés, escribió un elogio funerario para la Academia francesa, en el que mencionaba que Euler "dejó de calcular y de vivir". Además, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida y enumeró sus obras.

Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas

Ilustración perteneciente a la obra Solutio problematis... a. 1743 propositi (Acta eruditorum, 1744).

Euler trabajó prácticamente en todos los ámbitos de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, hizo aportaciones relevantes a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.

Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10 % de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades.

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.

Teoría de números

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.

Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos (teorema de Euclides-Euler), tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.

En el año 1772, Euler demostró que 2³¹ – 1 = 2 147 483 647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.

Teoría de grafos y geometría

En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas por un puente, y con las dos riberas del río mediante seis puentes (siete puentes en total). El problema que se planteaban sus habitantes consistía en decidir si era posible seguir un camino, y cómo hacerlo, que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. Euler logró demostrar matemáticamente que no lo hay, porque con esta configuración no es posible conformar lo que se denomina hoy un ciclo euleriano en el grafo que modela el recorrido, debido a que el número de puentes es impar en más de dos de los bloques (representados por vértices en el grafo correspondiente).

A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares. Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante: el teorema de Euler para poliedros, que básicamente consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy y L'Huillier, supuso el origen de la topología.

Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.

Matemática aplicada

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como «demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos».

Física y astronomía

Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la curva elástica, que se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de mecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido mediante varios premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportes en ese campo incluyen cuestiones como la determinación con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del paralaje solar. Formuló siete leyes o principios fundamentales sobre la estructura y dinámica del Sistema Solar y afirmó que los distintos cuerpos celestes y planetarios rotan alrededor del Sol siguiendo una órbita de forma elíptica. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación. También publicó trabajos sobre el movimiento de la Luna.

Además, Euler llevó a cabo importantes contribuciones en el área de la óptica. No estaba de acuerdo con las teorías de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teoría prevalente en aquel momento. Sus trabajos sobre óptica desarrollados en la década de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que proponía una teoría de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teoría hegemónica. La nueva teoría mantendría ese estatus hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.

En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de masa puntual y la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).

En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la hidrodinámica.

Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

Lógica

En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Las representaciones de este tipo reciben el nombre de diagramas de Euler.

Arquitectura e ingeniería

En este campo, Euler desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.

Creencias religiosas y posturas filosóficas

Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monismo de Leibniz y a la corriente filosófica representada por Christian Wolff. Euler insistía en que el conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes cuantitativas precisas, algo que el monismo y las teorías filosóficas de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones religiosas también pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de doctrinas, hasta el punto de que llegó a catalogar las ideas de Wolff como «paganas y ateas». Sin embargo, tuvo una inmensa influencia debido al racionalismo temprano del filósofo René Descartes.

Gran parte del conocimiento que tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra Cartas a una Princesa alemana, así como de un trabajo anterior llamado Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (en español, Defensa de la revelación divina frente a las objeciones de los librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler como un cristiano convencido de que defendía la interpretación literal de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una discusión en defensa de la inspiración divina de las escrituras).

Frases célebres

• "La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de las matemáticas."

• "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras y el otro es la división de una línea en segmentos proporcionales. El primero podemos compararlo a una medida de oro; el segundo nos ofrece la clave para medir lo inmensurable."

• "La función exponencial es la reina de todas las funciones."

• "No entiendo por qué se admiran de que el álgebra sea más útil que la retórica. Las letras son símbolos más estables que las palabras."

• "La matemática es una disciplina en la que los problemas son difíciles y los conceptos son difíciles, pero las reglas son simples y los resultados son hermosos."

• "Las matemáticas pueden ser una larga lucha, pero cada pequeño avance es una victoria en sí misma."

• "La matemática no es sobre números, ecuaciones, cálculos o algoritmos, sino sobre comprender."

• "La cantidad infinita es una idea matemática que no tiene un correspondiente físico."

• "La teoría de los números es un jardín en el que se encuentran los más bellos y sorprendentes teoremas matemáticos."

• "He estudiado todas las ramas de las matemáticas, pero mi carrera me ha llevado principalmente a los números."

Datos de interés

• Euler es famoso por su solución al problema de los siete puentes de Königsberg en 1736. Este problema de la teoría de grafos se considera uno de los primeros problemas resueltos de esta rama de las matemáticas.

• Euler introdujo los números eulerianos, que están relacionados con la teoría de grafos y la combinatoria. Estos números son importantes en la teoría de números y la teoría de grupos.

• Euler fue pionero en el uso de la notación f(x) para representar una función. Antes de su introducción, las funciones se describían de manera más complicada.

• Euler escribió más de 800 libros y artículos científicos a lo largo de su vida, lo que lo convierte en uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Además, perdió la vista en sus últimos años, pero continuó trabajando en matemáticas y dictando a sus alumnos.

• Euler hizo importantes contribuciones a la teoría de números, incluida la demostración de la ley de reciprocidad cuadrática y la conjetura de Goldbach, que establece que todo número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos.

• Euler es conocido por la fórmula de Euler, también llamada identidad euleriana, que relaciona cinco números matemáticos fundamentales: 1, 0, π, e y i (la unidad imaginaria). La fórmula es e^(iπ) + 1 = 0 y es considerada una de las ecuaciones más bellas de las matemáticas.

• Numerosos conceptos matemáticos y fórmulas llevan su nombre, como el número de Euler (e), el teorema de Euler sobre poliedros, la función phi de Euler, y más.

• A lo largo de su vida, Euler vivió en varios países europeos, incluyendo Suiza, Rusia y Prusia, donde trabajó en diversas instituciones académicas.

• Euler ha sido honrado en billetes de banco suizos y en sellos postales de varios países como Suiza, Rusia y Alemania.

• Euler fue profesor en la Academia de Ciencias de San Petersburgo y enseñó a Catherine la Grande de Rusia matemáticas y física.

Obra

Portada de la obra de Euler titulada Methodus inveniendi líneas curvas.

Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más conocidas o importantes.

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736)

• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
• Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
• Introductio in analysin infinitorum (1748)
• Institutiones Calculi Differentialis (1765)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
• Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne (Cartas a una Princesa alemana) (1768-1772).

En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó a publicar una colección definitiva de los trabajos de Euler titulada Opera Omnia. Existe un plan para la ampliación de la obra a la publicación de la correspondencia (en el año 2008 se han publicado ya tres volúmenes de correspondencia) y los manuscritos de Euler, aunque no se ha especificado ninguna fecha para su edición.

Reconocimientos y honores

Antiguo billete de 10 francos suizos con el retrato de Euler.

• Euler es conmemorado por la Iglesia Luterana en su Calendario de Santos el 24 de mayo, en su condición de devoto cristiano (creyente en la infalibilidad de la Biblia) y de apologista convencido contrario al ateísmo creciente de su época.
• Varias calles de ciudades de todo el mundo llevan su nombre, como sucede en París (Francia), Basilea (Suiza), Binzen (Alemania), México, D. F. (México), Buenos Aires (Argentina), Padua (Italia) o Englewood (Estados Unidos).
• En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos.
• Numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos llevan su efigie.
• El cráter lunar Euler recibió ese nombre en su honor.
• El asteroide (2002) Euler también debe su nombre al gran matemático.

Galería de imágenes

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  Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250.º aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: «250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler».

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  e es el único número real a para el cual se cumple que el valor de la derivada de la función f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo).

• 

  Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.

Véase también

En inglés: Leonhard Euler Facts for Kids

• Característica de Euler
• π
• Carl Gauss