Número primo de Mersenne para niños

Un número de Mersenne es un número especial que se obtiene restando 1 a una potencia de 2. Se escribe como M_n = 2ⁿ - 1. Por ejemplo, si n es 3, M₃ = 2³ - 1 = 8 - 1 = 7.

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que, además, es un número primo. Esto significa que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo. El 7 es un número primo de Mersenne porque es primo.

Estos números llevan el nombre de Marin Mersenne, un filósofo y matemático francés del siglo XVII. Él estudió mucho estos números y propuso una lista de cuáles creía que eran primos.

Historia de los Números de Mersenne

Marin Mersenne hizo una lista de números primos de Mersenne con exponentes (la 'n' en 2ⁿ) menores o iguales a 257. Pensó que solo esos eran primos. Sin embargo, su lista no era del todo correcta.

Mersenne incluyó algunos números que no eran primos y se le olvidaron otros que sí lo eran. Por ejemplo, se equivocó con M₆₇ y M₂₅₇, que no son primos. Pero no incluyó M₆₁, M₈₉ y M₁₀₇, que sí son primos.

Pasaron más de 200 años hasta que los matemáticos pudieron verificar su lista por completo. Hoy en día, se han descubierto muchos más números primos de Mersenne, mucho más grandes que los que Mersenne conocía.

Propiedades Interesantes

Los números primos de Mersenne tienen características especiales que los hacen únicos.

¿Cuándo un Número de Mersenne es Compuesto?

Si el exponente 'n' de un número de Mersenne (M_n = 2ⁿ - 1) es un número compuesto (es decir, se puede dividir por otros números además de 1 y sí mismo), entonces el número de Mersenne M_n también será compuesto.

Por ejemplo, si n = 4, que es compuesto (4 = 2 x 2), entonces M₄ = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15. El número 15 es compuesto (se puede dividir por 3 y por 5).

Esto significa que, para que un número de Mersenne sea primo, su exponente 'n' debe ser un número primo. Sin embargo, que 'n' sea primo no garantiza que M_n también lo sea. Por ejemplo, M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047, y 11 es primo, pero 2047 no lo es (2047 = 23 x 89).

Divisores de los Números de Mersenne

Si 'p' es un número primo diferente de 2, y un número primo 'q' divide a 2^p - 1, entonces 'q' siempre será un número que es uno más que un múltiplo de 2p.

Por ejemplo, para M₅ = 2⁵ - 1 = 31. El número 31 es primo. Si aplicamos la regla, 31 = 6 x 5 + 1. Aquí, p es 5 y 6 es un múltiplo de 2 (2 x 3).

Otro ejemplo es M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047. Este número no es primo, sus divisores son 23 y 89.

• 23 = 2 x 11 + 1 (aquí p es 11, y 2 es un múltiplo de 2).
• 89 = 8 x 11 + 1 (aquí p es 11, y 8 es un múltiplo de 2).

Lista de Primos de Mersenne Conocidos

Hasta el 21 de octubre de 2024, se conocen 52 números primos de Mersenne. El más grande de ellos es M_136,279,841, que tiene más de 41 millones de cifras. ¡Es un número gigantesco!

El número primo más grande conocido en el mundo casi siempre ha sido un número primo de Mersenne. Esto se debe a que son más fáciles de encontrar y verificar con computadoras.

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne que se han descubierto:

Es importante saber que no se sabe si hay más números primos de Mersenne entre el 48º (M_43,112,609) y el 52º (M_136,279,841). Por eso, la tabla es provisional. A veces, se descubre un número más pequeño después de uno más grande.

Preguntas Abiertas en Matemáticas

Aunque la idea original de Mersenne fue corregida, los matemáticos siguen investigando estos números. Han surgido nuevas preguntas y conjeturas.

La Nueva Conjetura de Mersenne

Esta conjetura, también conocida como la Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (de 1989), dice que si se cumplen dos condiciones para un número impar 'p', entonces una tercera condición también se cumple:

1. 'p' es de la forma 2^k ± 1 o 4^k ± 3 para algún número natural 'k'.
2. 2^p - 1 es un número primo (un primo de Mersenne).
3. (2^p + 1) / 3 es un número primo (un número primo de Wagstaff).

Si 'p' es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p - 1 como (2^p + 1)/3 no son primos. Por eso, solo se necesita revisar números primos para esta conjetura.

Algunos matemáticos piensan que esta conjetura es "obviamente cierta" porque encaja con los datos que ya se conocen.

La Conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff

Esta conjetura propone que no solo hay una cantidad infinita de números primos de Mersenne, sino que también se puede estimar cuántos hay. Sugiere una fórmula para calcular aproximadamente cuántos primos de Mersenne existen con un exponente 'p' menor que un número 'x'.

Relación con Otros Números

Los números primos de Mersenne están conectados con otros tipos de números interesantes en matemáticas.

Números Perfectos

Hace muchos siglos, el matemático Euclides descubrió una relación especial entre los números primos de Mersenne y los números perfectos. Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus divisores propios (sin incluirse a sí mismo). Por ejemplo, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6.

Euclides demostró que si M es un número primo de Mersenne, entonces M · (M + 1) / 2 es un número perfecto. Más tarde, Euler demostró que todos los números perfectos pares tienen esta forma. Hasta ahora, no se ha encontrado ningún número perfecto impar, y se cree que no existen.

Números Dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne es un número de la forma M_Mp = 2^(2p-1) - 1. Aquí, el exponente es a su vez un número de Mersenne.

Números Repunit

Los números repunit son números que se escriben solo con la cifra 1 en una base dada. Por ejemplo, en base 10, 11, 111, 1111 son repunits. Los números de Mersenne son los números repunit cuando se escriben en el sistema binario (base 2). Por ejemplo, 7 en binario es 111, que es un repunit.

Galería de imágenes

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  Gráfico que representa el número de cifras de cada uno de los primos de Mersenne conocidos. Nótese que la escala vertical es logarítmica.

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  Gráfico del número de cifras del primo de Mersenne más grande que se conocía cada año (era electrónica). La escala vertical es logarítmica.

Véase también

En inglés: Mersenne prime Facts for Kids

• Constante de Erdős–Borwein
• Número perfecto
• Número primo de Fermat
• Número primo de Wagstaff
• Número primo de Wieferich
• Repunit
• Test de Lucas-Lehmer
• Números primos de Mersenne y números perfectos