Constante de Euler-Mascheroni para niños

Enciclopedia para niños

La constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números y se denota con la letra griega minúscula gamma $(\gamma)$ .

Está definido como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural

\begin{align} \gamma &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)\right] \\ &=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx \end{align}

donde $\lfloor x\rfloor$ denota la función parte entera.

Su valor aproximado es

\gamma=0.57721\;56649\;01532\;86060\;65120\;90082\;40243\;10421\;59335\;93992\ldots

No debe confundirse con el número e, también llamado número de Euler.

Historia

La constante apareció por primera vez, en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.

Propiedades

El número $\gamma$ no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si $\gamma$ es irracional o no. El análisis de fracciones continuas revela que, de ser racional, su denominador debe ser muy elevado (actualmente del orden de 10²⁴²⁰⁸⁰). Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.

A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.

Representación original (Euler)

Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:

\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right]

Relación con la función Gamma

$\gamma$ está relacionada con la función digamma $\Psi$ y por lo tanto con la derivada de la función gamma $\Gamma$ , cuando ambas funciones están evaluadas en $1$ , esto es

-\gamma = {\Gamma}'(1) = \Psi(1) \,\!

y esto es igual al límite:

\begin{align} -\gamma &=\lim_{z\to\infty}\left(\Gamma(z)-\frac{1}{z}\right) \\ &=\lim_{z\to0}\left(\Psi(z)+\frac{1}{z}\right) \end{align}

otros límites son

\begin{align} \lim_{z\to0}\frac{1}{z}\left(\frac{1}{\Gamma(1+z)}-\frac{1}{\Gamma(1-z)}\right) &=2\gamma \\ \lim_{z\to0}\frac{1}{z}\left(\frac{1}{\Psi(1-z)}-\frac{1}{\Psi(1+z)}\right) &=\frac{\pi^2}{3\gamma^2} \end{align}

Un límite relacionado con la función beta (expresada en términos de la función gamma) es:

\begin{align} \gamma &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma(n+1)n^{1+{1\over n}}}{\Gamma\left(2+n+\frac{1}{n}\right)}-\frac{n^2}{n+1}\right) \\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^m\binom{m}{k}\frac{(-1)^k}{k}\;\ln(\Gamma(k+1)) \end{align}

y como función beta:

\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(n^{2+{1\over n}} \, \Beta\left(1+\frac{1}{n},n+1\right)-\frac{n^2}{n+1}\right)

Relación con la función Zeta de Riemann

$\gamma$ también puede ser expresada como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann evaluada en números positivos:

\begin{align} \gamma &=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^k\zeta(k)}{k} \\ &=\ln\left(\frac{4}{\pi}\right)+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^k \zeta(k)}{2^{k-1}k} \\ &=\ln\left(\frac{4}{\pi}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1} \zeta(k+1)}{2^k (k+1)} \end{align}

Otras series relacionadas con la función zeta son:

\begin{align} \gamma &=\frac{3}{2}-\ln 2-\sum_{k=2}^\infty(-1)^k\left(\frac{k-1}{k}\right)[\zeta(k)-1] \\ &=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{2n-1}{2n}-\ln n+\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\ &=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{k \,n}}{(k+1)!}\sum_{t=0}^k \frac{1}{t+1} - n\, \log 2+ \mathcal{O} \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ] \end{align}

El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.

Otro interesantes límites relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)

\begin{align} \gamma &=\lim_{s\to1^+}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right) \\ &=\lim_{s\to1}\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right) \\ &=\lim_{s\to0}\frac{\zeta(1+s)+\zeta(1-s)}{2} \end{align}

\begin{align} \gamma &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\left\lceil\frac{n}{k}\right\rceil-\frac{n}{k}\right) \end{align}

Representación con integrales

$\gamma$ es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:

\begin{align} \gamma &=-\int_0^\infty{e^{-x}\ln x}\,dx \\ &=-\int_0^1\ln\left(\ln\left (\frac{1}{x}\right)\right)dx \\ &=\int_0^\infty\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right)dx \\ &=\int_0^\infty\left(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}\right)dx \\ &=\int_0^\infty\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1+x^k}-e^{-x}\right)dx\quad k>0 \\ &=2\int_0^\infty\frac{e^{-x^2}-e^{-x}}{x}\;dx \end{align}

Entre las integrales definidas en las cuales aparece $\gamma$ se incluyen

\begin{align} \int_0^\infty e^{-x^2}\ln x\,dx &=-\frac{(\gamma+2\ln 2)\sqrt{\pi}}{4} \\ \int_0^\infty e^{-x}\ln^2(x)\,dx &=\gamma^2+\frac{\pi^2}{6} \end{align}

Uno puede expresar a $\gamma$ como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:

\begin{align} \gamma &=\int_0^1\int_0^1\frac{x-1}{(1-xy)\ln(xy)}\,dx\,dy \\ &=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right ) \end{align}

Representación con series

Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:

\gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1}

encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.

\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k} = \tfrac12-\tfrac13 + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right) + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots

donde log₂ es el logaritmo en base 2 y $\left \lfloor \, \right \rfloor$ la función parte entera.

En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior:

\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14\left(\tfrac14 + \dots + \tfrac18\right) + \tfrac19\left(\tfrac19 + \dots + \tfrac1{15}\right) + \dots

o escrito como

\gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \tfrac1{2^2} + \tfrac2{3^2} + \tfrac1{2^2}\left(\tfrac1{5^2} + \tfrac2{6^2} + \tfrac3{7^2} + \tfrac4{8^2}\right) + \tfrac1{3^2}\left(\tfrac1{10^2} + \dots + \tfrac6{15^2}\right) + \dots

(Krämer, 2005)

Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin)

\gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx

Representación en forma de fracción continua

La representación en forma de fracción continua es:

\gamma = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \ddots\ {}}}}}}

más concretamente

\gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]\,

(sucesión A002852 en OEIS).

Desarrollos asintóticos

$\gamma$ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H_n es el n-ésimo número armónico)

\gamma \sim H_n - \log \left( n \right) - \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{12n^2 }} - \frac{1}{{120n^4 }} + ...

(Euler)

\gamma \sim H_n - \log \left( {n + \frac{1}{2} + \frac{1}{{24n}} - \frac{1}{{48n^3 }} + ...} \right)

(Negoi)

\gamma \sim H_n - \frac{{\log \left( n \right) + \log \left( {n + 1} \right)}}{2} - \frac{1}{{6n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{30n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} - ...

(Cesàro)

La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.

e^γ

La constante e^γ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. e^γ es igual al siguiente límite, donde p_n es el n-ésimo número primo:

e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}

También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue:

\begin{align} e^{\gamma} & = \prod_{n=1}^\infty \left ( \prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}} \right)^{{1 \over {n+1}}} \\ {} & = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/5} \cdots \end{align}

Su valor numérico aproximado es

e^\gamma = 1.781\ 072\ 417\ 990\ 197\ 985\ 236\ldots

(sucesión A073004 en OEIS)

Generalizaciones

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

\gamma_\alpha = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha} - \int_1^n \frac{1}{x^\alpha} \, dx \right]

para 0 < α < 1, con γ como caso especial cuando α = 1. Esto puede ser más generalizado por

c_f = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x) \, dx \right]

para una determinada función f decreciente, por ejemplo

f_n(x) = \frac{\log^n x}{x}

dando lugar a las constantes de Stieltjes, y

f_a(x) = x^{-a} \,\!

dadas por

\gamma_{f_a} = \frac{(a-1)\zeta(a)-1}{a-1}

donde de nuevo el límite

\gamma = \lim_{a\to1}\left[ \zeta(a) - \frac{1}{a-1}\right]

aparece.

Apariciones

La constante de Euler-Mascheroni aparece en los siguientes casos (la mayoría en teoría de números):

Expresiones en las que se utiliza la función integral exponencial
La transformada de Laplace del logaritmo natural
El primer término de la serie de Taylor de la función zeta de Riemann, donde es la primera de las constantes de Stieltjes
Función digamma
Fórmula del producto de Weierstrass para la función gamma
Desigualdad de Función φ de Euler
Proporción de crecimiento de la función divisor
El cálculo de la constante Meissel-Mertens
El tercero de los Teoremas de Mertens.

Para más información en este sentido, ver Gourdon and Sebah (2004).

Véase también

En inglés: Euler's constant Facts for Kids

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