Ecuación diferencial ordinaria para niños

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (a menudo llamada EDO) es un tipo especial de ecuación. Imagina que tienes una función que no conoces, por ejemplo, cómo cambia la temperatura de un objeto con el tiempo. Una EDO relaciona esa función desconocida con sus cambios (sus derivadas) respecto a una sola cosa, como el tiempo.

A diferencia de otras ecuaciones más complejas que tratan con cambios en varias cosas a la vez (como la temperatura que cambia con el tiempo y también con el lugar), las EDO se centran en cómo algo cambia dependiendo de una única variable.

¿Para qué sirven las EDO?

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son muy útiles en muchas áreas del conocimiento. Los científicos e ingenieros las usan para entender y predecir cómo funcionan las cosas en el mundo real.

¿Dónde se usan las EDO en la vida real?

Las EDO nos ayudan a modelar y estudiar fenómenos en:

• Física: Para describir el movimiento de objetos, cómo se mueven los planetas o cómo funciona la electricidad.
• Ingeniería: Para diseñar puentes, coches, circuitos electrónicos o sistemas de control.
• Economía: Para entender cómo cambian los mercados o las inversiones.
• Biología: Para modelar el crecimiento de poblaciones, la propagación de enfermedades o cómo reaccionan los medicamentos en el cuerpo.
• Meteorología: Para predecir el clima.
• Química: Para estudiar la velocidad de las reacciones químicas.

En resumen, las EDO son herramientas matemáticas poderosas que nos permiten describir y entender cómo las cosas cambian a nuestro alrededor.

¿Por qué son importantes las EDO?

Isaac Newton, uno de los científicos más importantes de la historia, se dio cuenta de lo fundamentales que eran estas ecuaciones. En su famoso libro Principios matemáticos de la filosofía natural (de 1687), que explica las leyes del movimiento, comenzó con una ecuación diferencial para describir cómo se mueven los objetos. Esta ecuación es tan importante que se considera un principio básico de la mecánica.

Una EDO nos ayuda a encontrar una función que, al ser reemplazada en la ecuación, hace que todo tenga sentido. A veces, podemos encontrar una fórmula exacta para la solución, pero otras veces, especialmente con ecuaciones más complicadas, necesitamos la ayuda de computadoras para encontrar soluciones aproximadas.

¿Qué es una EDO? Definiciones básicas

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación que relaciona una función desconocida y (que depende de una variable x) con sus derivadas hasta el orden n. Por ejemplo, si n es 1, solo aparece la primera derivada (y'); si n es 2, aparece la segunda derivada (y), y así sucesivamente.

• Una EDO se llama explícita si la derivada de mayor orden está despejada.
• Se llama implícita si no lo está.
• Si la ecuación no depende directamente de la variable x (solo de la función y y sus derivadas), se llama autónoma.
• Una EDO es lineal si la función desconocida y sus derivadas aparecen solo multiplicadas por números o por funciones de x, y no hay potencias de y o de sus derivadas. Si no es lineal, se llama no lineal.

¿Qué es una solución de una EDO?

Una solución de una EDO es una función que, cuando la sustituimos en la ecuación junto con sus derivadas, hace que la ecuación sea verdadera. Es como encontrar el valor de 'x' en una ecuación normal, pero aquí buscamos una función completa.

• Una solución general es una familia de funciones que resuelven la EDO y que contienen constantes que pueden variar.
• Una solución particular se obtiene de la solución general dándole valores específicos a esas constantes. Esto suele hacerse cuando conocemos algunas condiciones iniciales, por ejemplo, el valor de la función en un punto determinado.

¿Qué son las condiciones iniciales?

Para que una EDO tenga una solución única, a menudo necesitamos darle información adicional, como el valor de la función en un punto específico o el valor de su primera derivada en otro punto. Estas se llaman condiciones iniciales o condiciones de contorno. Sin ellas, podríamos tener muchas soluciones posibles.

Tipos de EDO y cómo se resuelven

Existen muchos tipos de EDO, y cada una puede tener una forma diferente de resolverse. Las EDO de primer orden (donde solo aparece la primera derivada) suelen ser más sencillas de resolver que las de orden superior.

¿Cómo sabemos si una solución existe y es única?

Hay teoremas matemáticos que nos dicen cuándo podemos estar seguros de que una EDO tiene al menos una solución, y cuándo esa solución es la única posible. Esto es muy importante para los matemáticos, ya que les asegura que sus modelos son válidos.

¿Cómo se encuentran las soluciones?

• Soluciones analíticas: Para algunos tipos de EDO, especialmente las lineales con coeficientes constantes, existen métodos que nos permiten encontrar una fórmula exacta para la solución.
• Soluciones numéricas: Para las EDO más complejas, especialmente las no lineales, no siempre es posible encontrar una fórmula exacta. En estos casos, usamos métodos numéricos con la ayuda de computadoras para encontrar soluciones aproximadas con mucha precisión.

EDO de primer orden

Las EDO de primer orden son las más sencillas y se expresan como una relación entre la primera derivada de la función y la función misma, junto con la variable independiente.

Algunos tipos comunes de EDO de primer orden son:

• Ecuaciones de variables separables: Donde podemos separar las variables a cada lado de la ecuación para integrarlas por separado.
• Ecuaciones exactas: Que se pueden resolver si provienen de la derivada total de alguna función.
• Ecuaciones lineales: Tienen una forma específica que permite una solución general.
• Ecuación de Bernoulli: Una forma más general de las ecuaciones lineales.
• Ecuación de Riccati, Lagrange y Clairaut: Otros tipos específicos que tienen métodos de resolución particulares.

EDO de segundo orden

Las EDO de segundo orden son muy importantes en física, especialmente en mecánica y electromagnetismo, porque describen sistemas donde la aceleración (la segunda derivada de la posición) juega un papel clave.

Algunos tipos comunes de EDO de segundo orden son:

• Ecuación lineal con coeficientes constantes: Muy común en física e ingeniería, su solución depende de las raíces de un polinomio asociado.
• Ecuación diferencial de Euler-Cauchy: Se puede transformar en una ecuación con coeficientes constantes para resolverla.
• Ecuaciones de Bessel y Legendre: Aparecen en problemas de física que involucran simetrías cilíndricas o esféricas. Sus soluciones son funciones especiales llamadas funciones de Bessel o polinomios de Legendre.

EDO de orden superior

Las EDO de orden superior (con derivadas de tercer orden o más) también se utilizan, especialmente las lineales con coeficientes constantes. Su resolución es similar a las de segundo orden, pero el polinomio asociado es de mayor grado.

La trayectoria de un objeto lanzado, como una pelota, sigue una curva que puede describirse con una ecuación diferencial ordinaria.

Véase también

En inglés: Ordinary differential equation Facts for Kids

• Ecuación diferencial
• Ecuaciones en derivadas parciales