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Serie de potencias para niños

Enciclopedia para niños

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1+ a_2 (x-c)^2 + \ldots

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes a_n son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots.

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.

Convergencia de series de potencias

Sea :\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el Teorema de Taylor, el cual nos dice que si f es analítica en un disco abierto centrado en z_0 entonces la serie de Taylor de f , \sum_{n=0}^\infty \frac{(f^n) (z_0)}{n!} (z-z_0)^n; converge en el disco y es igual a f(z) en todo ese disco.

Teorema de convergencia de series de potencias

Sea:\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n una serie de potencias. Existe un único número R\ge 0, quizá mayor a infinito \infty; llamado el radio de convergencia, tal que si \left|z - z_0\right| < R , la serie converge y si \left|z - z_0\right| > R , la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en A = \{{ z \in C : \left | z - z_o\right | < R}\} . No podemos generalizar la convergencia si \left|z - z_0\right| =R .

Demostración:

Siendo R= sup \{ r\ge0 \mid \sum_{n=0}^\infty \mid a_n\mid r^n converge\} , donde sup es la cota superior más chica de ese conjunto de números reales.

Para continuar con la demostración auxiliándonos del Lema de Abel-Weierstrass donde suponiendo que r_0\ge 0 y que \mid a_n\mid r_0^n \le M para toda n, donde M es una constante. Para r< r_0, \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado A_r =\{ z : \mid z-z_0\mid \le r \} . Su demostración menciona lo siguiente: para z \in A_r tenemos, |a_n(z-z_0)^n| \le|a_n|r^n \le M (\frac{r}{r_0})^n. Sea M_n=M(\frac{r}{r_0})^n ya que r/r_0 <1, \sum M_n converge. Gracias al criterio de M de Weierstrass la serie converge uniforme y absolutamente en A_r .

Primera parte del teorema de convergencia de series de potencias, demostración.

Sea r_0 <R. Por la definición de R, existe una r_1 con r_0 < r_1 \le R tal que \sum |a_n| r_1^n converge. Por lo tanto,\sum |a_n| r_1^n converge, gracias al criterio de comparación. Los términos |a_n| r_0^n están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema

de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en A_r para cualquier r < r_0. Puesto que cualquier z con|z- z_0| < R está en alguna A_r y viendo que

siempre podemos escoger r_0 tal que r < r_0 \le R, tenemos la convergencia en z.

Supongamos ahora que |z_1-z_0|>R y \sum a_n(z_1-z_0)^n converge. Deduciendo una contradicción. Los términos a_n(z_1-z_0)^n están acotados en valor absoluto porque se aproximan al O. Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si R < r < |z_1 - z_0|, entonces a_n(z_1 - z_0)^n converge absolutamente si z_1\in A_r. Por lo tanto. \sum |a_n| r^n converge. Esto significa, por la definición de R, que R < R.

Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado A_r estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.

Ejemplos

Archivo:Exp series
La función exponencial (en azul), y la suma de sus primeros n+1 términos de su serie de Maclaurin (en rojo).

La serie geométrica

\sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x},

es una serie de potencias, absolutamente convergente si |x|<1 y divergente si |x|>1 o |x|=1 y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

y la fórmula del seno

\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Power series Facts for Kids

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