Función inversa para Niños

Una función ƒ y su función inversa ƒ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la función inversa ƒ^–1 retorna 3 en a.

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f ^-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ^-1 es la función inversa de f.

Contenido

Definiciones formales
- Definiciones alternativas
- Notación alternativa
Propiedades algebraicas
Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
Ejemplos
Véase también

Definiciones formales

Sea $f$ una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto $I$ y cuya imagen sea el conjunto $J$ . Entonces, la función inversa de $f$ , denotada $f^{-1}$ , es la función de dominio $J$ y codominio $I$ definida por la siguiente regla:

f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!

Destaquemos que $f^{-1}$ , al igual que $f$ , es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por $f$ y que cumple:

$f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_i$ y
$f \circ f^{-1}=\operatorname{id}_j$ .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

$g \circ f = \operatorname{id}_I$ y
$f \circ g= \operatorname{id}_J$ ,

entonces:

Si se cumple 1) entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva, y diremos que $g$ es inversa por la izquierda de $f$ .
Si se cumple 2) entonces $g$ es inyectiva y $f$ sobreyectiva, y diremos que $g$ es inversa por la derecha de $f$ .
Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces $f$ y $g$ son biyectivas y $g$ es la inversa de $f$ .

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa

La notación tradicional $f^{-1}$ puede ser confusa, ya que puede dar a entender $\frac{1}{f}$ . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

$f^\star:B \rightarrow A$

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número $-1$ :

$f^-:B \rightarrow A \,$ .

Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula

(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g^–1 y terminar con f^–1,

La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:

f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_{X}

f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_{Y}

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

Continuidad

$f$ y $f^{-1}$ son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir $f$ así: si $x$ es racional, $f(x) = x$ , y si es irracional, $f(x) = -x$ . En este caso muy particular $f =f^{-1}$ .

Además, en tal caso $f$ y $f^{-1}$ son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.

Las gráficas que representan $f$ y $g=f^{-1}$ son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta $y=x$ . En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera $M(x,y)$ sobre el punto $M'(y,x)$ . $M$ pertenece a la curva de $f$ si y sólo si $M'$ pertenece a la de $g$ , porque la primera condición se escribe $y= f(x)$ y la segunda $x =g(y)$ y son por definición equivalentes.

Las tangentes en $M$ y $M'$ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista $g'(y)f'(x)= 1$ .

Derivación

f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos, $x \rightarrow x^2$ Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa de la otra:

$\begin{cases} f:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto x^2 \end{cases} \qquad \begin{cases} g:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases} \qquad f\circ g (x)= g\circ f (x) = x$

Más generalmente, la función raíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa de la función potencia definida por $x \rightarrow x^n$ .
También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:

Para

f(x) = \cos(x) = y

g(y) = f^{-1}(y) = \arccos(y)

, y utilizando

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

se obtiene:

g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{-\sin(x)} = \frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(x)}} = \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}

Para

f(x) = \tan(x) = y

g(y) = f^{-1}(y) = \arctan(y)

, y utilizando

\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)

se obtiene:

g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{1}{1+y^2}

Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.

En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

$\begin{cases} f:\R \to [-1,1]\\ x \mapsto \cfrac{1}{2\pi}\left[ \ln\left(\cfrac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\right) + 2\arctan(x\sqrt{2}+1)+2\arctan(x\sqrt{2}-1) \right] = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k x^k}{4k+1}\end{cases}$

Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:

$f^{-1}(x) \approx x + \frac{x^5}{5} + \dots$

Véase también

En inglés: Inverse function Facts for Kids

Teorema de la función inversa, condiciones suficientes para la existencia de una función inversa continua y diferenciable.

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