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Función hiperbólica para niños

Enciclopedia para niños

Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Archivo:Sinh cosh tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh
Archivo:Csch sech coth
Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}

El coseno hiperbólico

\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}

La tangente hiperbólica

\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}

y otras líneas:

\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
(cotangente hiperbólica)
\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
(secante hiperbólica)
\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

\left \{ \begin{matrix} x(t) = \cos t \\ y(t) = \sin t \end{matrix} \right .

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

Archivo:Seno hiperbolico
Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

\ x^2-y^2=1

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

\left \{ \begin{matrix} x(t) = \cosh t \\ y(t) = \sinh t \end{matrix} \right .

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

dado que

\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

Relaciones

Ecuación fundamental

\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,

Duplicación del argumento

Se tienen xdlas siguientes fórmulas muy similares a sus correspondientes trigonométricas

\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)
\cosh(x-y) = \cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)

que lleva a la siguiente relación:

\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)

y por otra parte

\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)
\mathrm{sinh}(x-y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)-\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)

que lleva a:

\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)

se tiene esta otra relación

\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}

que permite obtener

\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}

Derivación e integración

Al ser combinaciones racionales de las funciones derivables ex y e-x , existen derivadas en los puntos definidos que tienen igualmente semejanzas con funciones trigonométricas.
Todas se deducen a partir de:
{{d \over dx}} {{\bigl(e^u - e^{-u} \bigr)}\over 2}
Por tanto, las derivadas de las funciones trigonométricas son las siguientes:
\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{senh}\,(x)) = \cosh(x)
\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)
\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = \mathrm{sech}^2(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{coth}(x)) = -\mathrm{csch}^2(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{sech}(x)) = -\mathrm{sech}(x)\tanh(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{csch}(x)) = -\mathrm{csch}(x)\mathrm{coth}(x)

Estas fórmulas conducen de manera análoga las de integración. Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

A continuación, las fórmulas de integrales:

\int \mathrm{senh}(x) \, dx = \cosh(x) +C
\int \mathrm{cosh}(x) \, dx = senh(x) +C
\int \mathrm{sech}^2 (x) \, dx= \mathrm{tanh}(x)+C
\int \mathrm{csch}^2 (x) \, dx= -\mathrm{coth}(x)+C
\int \mathrm{sech}(x) \, \mathrm{tanh}(x) \, dx= -\mathrm{sech}(x)+C
\int \mathrm{csch}(x) \, \mathrm{coth}(x) \, dx = -\mathrm{csch}(x)+C

Relación con la función exponencial

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

e^x = \cosh x + \sinh x\!

y

e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

Éstas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

e^{ix} = \cos x + i\sin x.

Adicionalmente,

e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}

Expresiones en forma de serie de Taylor

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent, si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Esta serie es convergente para todo valor complejo de x. Puesto que la función sinh x es impar, solo los exponentes impares de x aparecen en esta serie de Taylor.

\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

Esta serie es convergente para todo valor complejo de x. Puesto que la función cosh x es par, solo los exponentes pares de x aparecen en esta serie de Taylor.

La suma de las series del sinh y cosh es la expresión en forma de serie de taylor de la función exponencial.

Las siguientes series se obtienen de la descripción de un subconjunto de su radio de convergencia, donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.

\begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\ \coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \\ \operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\ \operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \end{align}

donde:

B_n \, es el n-ésimo número de Bernoulli
E_n \, es el n-ésimo número de Euler

Funciones hiperbólicas inversas

Artículo principal: Funciones hiperbólicas inversas

Las funciones hiperbólicas inversas son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas. Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa correspondiente proporciona el ángulo hiperbólico.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Hyperbolic functions Facts for Kids

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