Filosofía de las matemáticas para niños
La filosofía de las matemáticas es una parte de la filosofía que busca entender qué son las matemáticas. Se pregunta sobre sus reglas, de qué tratan, cómo se estudian y cuál es su naturaleza.
Podemos ver este estudio desde dos puntos de vista: el de los filósofos y el de los matemáticos. Los filósofos quieren aclarar cómo se relacionan las matemáticas con otras ideas de la filosofía. Los matemáticos, por su parte, buscan dar una base sólida al conocimiento matemático. Aunque estos enfoques son diferentes, se complementan. Cuando los matemáticos investigan las bases de su disciplina, se le llama investigación fundamental. Cuando los filósofos estudian preguntas sobre las matemáticas, contribuyen a la filosofía de las matemáticas.
Según Jeremy Avigad, un profesor de matemáticas y filosofía, el conocimiento matemático siempre se ha visto como un ejemplo perfecto de conocimiento humano, con verdades que son siempre ciertas. Por eso, explicar el conocimiento matemático es muy importante para entender cómo sabemos las cosas. Los objetos matemáticos, como los números y los conjuntos, son ideas abstractas que no dependen del tiempo ni del espacio. Entender dónde encajan estas ideas en nuestro pensamiento es una tarea central de la filosofía. El lenguaje matemático es muy exacto porque usa un vocabulario limitado y reglas claras.
Bertrand Russell decía que las matemáticas se pueden explorar en dos direcciones: una para expandir el conocimiento y otra para encontrar sus bases. Así como necesitamos un telescopio y un microscopio para ver mejor, necesitamos dos tipos de herramientas para entender la lógica: una para avanzar hacia matemáticas más complejas y otra para ir hacia atrás, a las bases de lo que damos por sentado en matemáticas. Al analizar las ideas matemáticas comunes, obtenemos nuevas perspectivas y formas de llegar a nuevos temas.
Estas formas de ver las matemáticas no se contradicen. Como dijo Imre Lakatos, la filosofía moderna de las matemáticas está muy conectada con la forma general de entender el conocimiento y solo se puede comprender en ese contexto.
Contenido
- ¿Qué es la Filosofía de las Matemáticas?
- La "Crisis" de los Fundamentos de las Matemáticas
- Grandes Preguntas en la Filosofía de las Matemáticas
- Diferentes Maneras de Entender las Matemáticas
- Las Matemáticas como Arte
- Platonismo: ¿Existen las Matemáticas en otro lugar?
- Matematicismo: ¿Todo es Matemáticas?
- Aristotelismo: Matemáticas en el Mundo Real
- Formalismo: Las Matemáticas como un Juego de Reglas
- Deductivismo: Si Esto, Entonces Aquello
- Convencionalismo: Elegir las Reglas
- Intuicionismo: Construyendo las Matemáticas
- Logicismo: Las Matemáticas son Lógica
- Constructivismo: Solo lo que se Puede Construir
- Finitismo: Solo lo Finito es Real
- Estructuralismo: Las Relaciones son lo Importante
- Ficcionalismo: Las Matemáticas como Historias Útiles
- Empirismo: Las Matemáticas Vienen de la Experiencia
- Cuasi-Empirismo: Aprendiendo de la Práctica
- Psicologismo: Las Matemáticas y la Mente
- Teísmo: Matemáticas y un Propósito Mayor
- Galería de imágenes
- Véase también
¿Qué es la Filosofía de las Matemáticas?
Desde hace mucho tiempo, la filosofía se ha interesado en las matemáticas. Miguel de Guzmán señaló que la forma en que funciona el pensamiento matemático, con su lógica simple y clara, lo convierte en un modelo confiable para la reflexión. Los filósofos que quieren entender los misterios del conocimiento humano han visto en las matemáticas un campo ideal para probar sus ideas. Mario Bunge incluso sugirió que las matemáticas son la base no solo de la ciencia, sino también de la filosofía.
Durante mucho tiempo, la opinión general era que las matemáticas eran la "reina de las ciencias", como dijo Carl Friedrich Gauss. Esta importancia venía de la idea de Platón: para él, las matemáticas eran el origen y la base de sus teorías sobre las ideas. La verdad matemática, al no cambiar con el tiempo, era el modelo a seguir para todo conocimiento. El método de la deducción, que parte de ideas básicas (axiomas) para llegar a demostraciones, era el modelo de razonamiento más respetado. Platón creía que las matemáticas están en el alma humana y que solo necesitamos reflexionar para darnos cuenta de ese conocimiento interno.
Esta forma de pensar se conoce como realismo o platonismo. En pocas palabras, significa creer que los objetos matemáticos son reales y existen por sí mismos, sin depender de que los conozcamos. Existen fuera del tiempo y del espacio físico, y cualquier pregunta sobre ellos tiene una respuesta definida. Así, un matemático, en este sentido, es como un científico que no inventa, sino que descubre algo que ya existe. El físico Paul Davies dijo: "Los científicos no usan las matemáticas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos. Creen que las relaciones matemáticas reflejan aspectos reales del mundo físico."
La "Crisis" de los Fundamentos de las Matemáticas
Sin embargo, a finales del siglo XIX, esta situación empezó a cambiar. Esto llevó a la llamada crisis de los fundamentos a finales del siglo XIX y principios del XX. Esta "crisis" se originó por dos descubrimientos principales: las geometrías no euclidianas y la teoría de conjuntos.
Hasta bien entrado el siglo XIX, la geometría se consideraba la rama más sólida del conocimiento. Era el estudio de las propiedades del espacio, vistas como verdades objetivas y universales.
Pero en el siglo XIX ocurrieron "desastres" que cambiaron todo. Primero, el descubrimiento de geometrías no euclídeas. Luego, el desarrollo del análisis (una rama de las matemáticas) de formas que iban en contra de la intuición geométrica (como curvas que llenan el espacio o funciones continuas que no se pueden dibujar sin levantar el lápiz). Esto mostró que la intuición geométrica, que era la única base de las matemáticas, era vulnerable. Fue una "catástrofe" porque significaba perder la certeza, no solo en matemáticas, sino en todo el conocimiento humano.
Entonces se buscó otra "base segura". Dedekind y Weierstrass mostraron que el análisis se podía construir a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a la normalidad, ya que nadie dudaba de la certeza de contar, y los números enteros serían la nueva base.
Pero Gottlob Frege fue más allá y comenzó un ambicioso plan para basar las matemáticas en la Lógica, a través de la aritmética. Esta fue la base de la escuela logicista, continuada por Russell y Whitehead. La idea era demostrar que las matemáticas clásicas eran parte de la lógica, para asegurar que las matemáticas no tuvieran contradicciones.
Sin embargo, ya se habían hecho descubrimientos que sacudirían este optimismo. La construcción del continuo a partir de la aritmética se basaba en la Teoría de Conjuntos de Cantor, que también usó Frege. Pero la teoría de Cantor, especialmente su idea de que "cualquier condición determina un conjunto", resultó ser inconsistente.
Esta crisis llevó a varias soluciones, que dieron origen a tres corrientes principales: el intuicionismo, el logicismo y el formalismo. Aunque estas soluciones no resolvieron completamente la situación, dieron lugar a otras escuelas de pensamiento.
Grandes Preguntas en la Filosofía de las Matemáticas
Hay algunas preguntas fundamentales sobre las matemáticas:
¿Existen los objetos matemáticos?
¿Existen los objetos matemáticos (como los números o las figuras) de verdad, independientemente de que los usemos? Si es así, ¿en qué sentido? ¿Qué significa hablar de un objeto matemático? ¿Qué tipo de verdad tienen los teoremas matemáticos? ¿Cómo se relacionan la lógica y las matemáticas? Estas son preguntas sobre la existencia de las cosas.
¿Cómo obtenemos el conocimiento matemático?
¿Cuál es el origen y la esencia de la verdad matemática? ¿Qué condiciones debe cumplir la ciencia matemática? ¿Cuáles son sus métodos de investigación? ¿Qué papel juega la naturaleza humana en todo esto? Estas son preguntas sobre cómo conocemos.
¿Cómo se relaciona la matemática con la realidad?
¿Cuál es la relación entre el mundo abstracto de las matemáticas y el universo material? ¿Las matemáticas nacen de la experiencia? Si es así, ¿cómo? ¿Por qué las matemáticas "encajan tan bien con los objetos de la realidad" (Albert Einstein)? ¿Cómo conceptos como número, punto o infinito adquieren un significado que va más allá de las matemáticas? Algunos pensadores, como William Lane Craig, han sugerido que la sorprendente utilidad de las matemáticas para describir la naturaleza podría explicarse por la existencia de una inteligencia superior.
El punto de partida casi siempre es la idea de que las afirmaciones matemáticas son ciertas por sí mismas, no cambian con el tiempo y son exactas. Su verdad no depende de pruebas experimentales ni de opiniones personales. La tarea es determinar cómo podemos obtener ese conocimiento y también cuestionar críticamente esta idea inicial.
Diferentes Maneras de Entender las Matemáticas
Hay muchas formas de ver y entender las matemáticas. Aquí te presentamos algunas de las más importantes:
Las Matemáticas como Arte
Algunos piensan que las matemáticas son una combinación hermosa de ideas y que, por lo tanto, son un arte. Matemáticos como el británico G. H. Hardy y el francés Henri Poincaré compartían esta idea. Para Hardy, las matemáticas eran como una combinación estética de conceptos.
Platonismo: ¿Existen las Matemáticas en otro lugar?
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En filosofía de las matemáticas, el platonismo matemático o realismo matemático es una corriente de pensamiento que afirma que los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, funciones, etc.) no son simples invenciones humanas, sino objetos abstractos que existen por sí mismos, independientemente de la mente humana, es decir, que los objetos y teoremas matemáticos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y los axiomas de la matemática tienen una posición similar y su efectividad encuentra una explicación: su fundamento lo constituye el verdadero mundo de los objetos matemáticos. El platonismo matemático es una forma de realismo filosófico, aplicado a los objetos matemáticos.
Kurt Gödel describe el platonismo matemático brevemente como:
«[…] la concepción de que la matemática describe una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actos como de las disposiciones de la mente humana, y que es solo percibida por ella, aunque probablemente de forma incompleta.»
Matematicismo: ¿Todo es Matemáticas?
El matematicismo de Max Tegmark va más allá del platonismo. Afirma que no solo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. La única idea de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente. Esto significa que, en mundos lo suficientemente complejos como para tener seres conscientes, estos se percibirán a sí mismos como existiendo en un mundo "real" y físico.
Aristotelismo: Matemáticas en el Mundo Real
El realismo aristotélico en la filosofía de las matemáticas dice que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que se pueden encontrar literalmente en el mundo físico. Por ejemplo, el número 4 se ve en la relación entre un grupo de loros y en la idea general de "ser un loro" que divide el grupo en cuatro loros.
Aristóteles pensaba que los objetos matemáticos, a diferencia de lo que creía Platón, son ideas que sacamos de los objetos y realidades materiales del mundo físico. No existen por sí mismos, sino en los objetos individuales o en nuestra mente como seres "en potencia" (con la posibilidad de ser). Para Aristóteles, las matemáticas no tienen una universalidad propia. Él decía que los seres matemáticos no son "sustancias" (cosas que existen por sí mismas), sino que la cantidad es algo que viene después de la sustancia. Las entidades matemáticas son ideas que nuestra mente puede formar y que nos dan una idea de la belleza y un placer intelectual.
Aristóteles criticó las ideas de Platón diciendo que la verdadera existencia está en lo individual, no en lo universal. Esta es la base de un realismo filosófico moderado, que sostiene que las ideas generales son reales en la mente, y aunque no existen de forma independiente, se basan en cosas que sí existen.
Formalismo: Las Matemáticas como un Juego de Reglas
El formalismo matemático ve las matemáticas "puras" como un juego, basado en un conjunto de reglas para manipular símbolos. Por ejemplo, en el juego de la geometría euclidiana, se obtiene el teorema de Pitágoras combinando ciertas cadenas (los axiomas) según reglas específicas (las del razonamiento lógico).
David Hilbert es considerado el fundador del formalismo moderno. Él quería construir todas las matemáticas de forma lógica y completa, partiendo de los números naturales y usando axiomas para no tener que definir los objetos básicos.
Según esta visión, las afirmaciones matemáticas no son verdades sobre "algo", sino que lo importante son las relaciones entre ellas. Hilbert decía que lo importante en las matemáticas no es el resultado numérico, sino la ley de cómo se estructuran las relaciones entre los objetos matemáticos.
Aunque esta propuesta duró poco debido al teorema de incompletitud de Gödel (que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es incompleto o contradictorio), fue la posición más aceptada entre los matemáticos hasta finales del siglo XX.
Deductivismo: Si Esto, Entonces Aquello
En filosofía de las matemáticas, el deductivismo, o a veces si-entoncismo (del inglés if-thenism), es una variante del formalismo que propone que el trabajo del matemático consiste en derivar proposiciones a partir de la asunción de que ciertas otras son correctas (si A, entonces B). Tradicionalmente se ha asumido que esas proposiciones básicas (o axiomas) son o deberían ser indudablemente correctas. Pero eso no es ni necesariamente correcto ni necesario. No es necesario porque la matemática no necesita fundaciones indudables, y no es necesariamente correcto porque, de hecho, la matemática trabaja perfectamente (especialmente en el área de las matemáticas aplicadas) sobre la base que los axiomas son presumiblemente correctos y presumiblemente coherentes y que las inferencias que siguen de esos presumibles axiomas son presumiblemente posibles (en el sentido que se puede crear un modelo matemático a partir de ellas).
Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matemática sea una deducción. Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente válidas (véase Validez (epistemología) y Validez (lógica)) pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducción para ser considerada válida.
Por ejemplo, el deductivismo considera que el teorema de Pitágoras no es verdadero sin más, sino solo en relación con ciertos supuestos. Si a las cadenas se les asignan significados, de tal manera que los axiomas sean verdaderos y reglas de inferencia sean válidas, entonces se obtienen «conclusiones ciertas», tales como el teorema de Pitágoras. En este sentido, el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simbólico sin sentido. El matemático puede confiar, en cambio, que existe una interpretación de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la física o por otras ciencias naturales, tal que las reglas conduzcan a «afirmaciones verdaderas». Por lo tanto un matemático deductivista se puede mantener al margen tanto de la responsabilidad por la interpretación como de las dificultades ontológicas de los filósofos.
En 1967, Hilary Putnam revivió una idea de Bertrand Russell —el «si-entoncismo» (if-thenism)— e introdujo el deductivismo como una respuesta a algunos problemas con el logicismo en Principia Mathematica. Putnam propone considerar las matemáticas como el estudio de las consecuencias de los axiomas, usando teoría de modelos. En consecuencia interpreta las proposiciones matemáticas como refiriéndose a un posible modelo para esas proposiciones. A diferencia de la sugerencia logicista de Russell y otros, el deductivismo basa y transforma la matemática en una lógica con un sentido mucho más amplio que el sentido logicista. La lógica deductivista incluye, por ejemplo, la teoría de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas. El logicismo podría ser solo una versión del deductivismo, usando una concepción más restrictiva de la lógica matemática.
Según Putnam, si bien la condición de veracidad (o corrección) de esas verdades se satisface (o demuestra) mostrando que constituyen un modelo de ese conjunto de axiomas (es decir, constituyen un caso ejemplar de tales axiomas), el de los axiomas solo puede ser asumido, y por lo tanto el todo está expuesto a error. «Las matemáticas pueden estar erradas, y no sólo en el sentido de que las pruebas podrían ser falaces o que los axiomas podrían no ser (si reflexionamos más profundamente) realmente evidentes. Las matemáticas (o, más bien, una teoría matemática) podría estar equivocado en el sentido de que los axiomas "evidentes" podrían ser falsos, y los axiomas que son verdaderos pueden no ser "evidentes" en absoluto. Pero esto no hace que la búsqueda de la verdad matemática sea imposible más de lo que lo ha hecho en la ciencia empírica, ni tampoco significa que no debemos confiar en nuestra intuición cuando no tenemos nada mejor para continuar.»
Convencionalismo: Elegir las Reglas
El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en hablar del convencionalismo. El uso de geometrías no euclidianas en su trabajo lo convenció de que la geometría euclidiana no debía considerarse una verdad que se sabe de antemano. Él decía que los axiomas en geometría deben elegirse por los resultados que producen, no por lo bien que parezcan encajar con nuestras ideas sobre el mundo físico.
Intuicionismo: Construyendo las Matemáticas
El intuicionismo matemático no está de acuerdo con el logicismo ni con el formalismo. Propone que el conocimiento matemático se basa en entender, antes de cualquier lenguaje o lógica, algunos conceptos matemáticos básicos. Esta idea viene de Kant y Schopenhauer, y fue desarrollada por L. E. J. Brouwer, quien dijo que el saber matemático se basa en la intuición primordial de los números naturales (1, 2, 3...). Cada número se puede "construir" añadiendo 1 al anterior, partiendo de la intuición básica del 1.
A partir de esto, el resto de las matemáticas se pueden (y deben) construir de forma clara y precisa. Solo las ideas cuya existencia se haya demostrado de esta manera tienen validez matemática. Para los intuicionistas, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.
Una consecuencia de esto es que restringen el principio del tercero excluido (que dice que una afirmación es verdadera o falsa, sin término medio). Para los intuicionistas, saber que una afirmación es falsa significa poder demostrar esa falsedad. Esto implica que, en un momento dado, es posible que haya afirmaciones sobre las cuales no estamos seguros si son correctas o no.
Otras diferencias con las matemáticas clásicas están en la idea del infinito y del continuo. Para los intuicionistas, algo es válido si puede ser construido con un número finito de pasos. Por lo tanto, el infinito intuicionista es solo potencial, no una "totalidad completa y acabada".
Logicismo: Las Matemáticas son Lógica
En filosofía de las matemáticas, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica, o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.
Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:
- Los conceptos matemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
- Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas
Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto.
Constructivismo: Solo lo que se Puede Construir
En filosofía de las matemáticas, el constructivismo o escuela constructivista requiere para la prueba de la existencia de un objeto matemático, que este pueda ser encontrado o «construido». Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradicción clásica (reducción al absurdo) que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradicción. Según los constructivistas tal procedimiento no permite encontrar el objeto estudiado y en consecuencia su existencia no está realmente probada. La posición opuesta se denomina platonismo matemático.
Se confunde frecuentemente el constructivismo con el intuicionismo cuando en realidad este último no es sino un tipo de constructivismo. Para el intuicionismo, las bases fundamentales de las matemáticas se encuentran en lo que denominan la intuición matemática, haciendo en consecuencia de esta una actividad instrínsecamente subjetiva. El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepción objetiva de las matemáticas.
Erret Bishop propuso el constructivismo a partir de las sugerencias de Brouwer y Márkov, pero modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta más restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Márkov pero, al mismo tiempo, logra que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matemática clásica, cosa que no ocurre con las otras dos. Bishop logra esta flexibilidad a través de no definir lo que llama "rutinas finitas" (algoritmos) que constituyen el proceso de demostración. Si bien esto parece introducir una cierta falta de precisión, fuerza a quienes practican esta aproximación a utilizar estrictamente la lógica intuicionista. Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal. Si eso fuera el caso, la aproximación intuicionista podría ser implementada en relación con cualquier objeto matemático, no solo esa clase especial de «objetos constructivos».
El constructivismo critica el formalismo llevado hasta el extremo por el grupo de matemáticos llamado Nicolas Bourbaki, admite la sucesión de los números naturales, mas no el conjunto de los naturales, cuestionan la lógica en que se fundamenta la matemática de Bourbaki y proclama la tercera opción respecto del principio del tercero excluido (a más de p y ~p, cabe otra salida).
Finitismo: Solo lo Finito es Real
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En filosofía de las matemáticas, el finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable.
Estructuralismo: Las Relaciones son lo Importante
En filosofía de las matemáticas, el estructuralismo considera las matemáticas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales, es decir, las relaciones de los elementos dentro de un sistema.
Según Stewart Shapiro, «El estructuralismo matemático es similar, en algunos aspectos, al punto de vista funcionalista en, por ejemplo, la filosofía de la mente. Una definición funcional es, en efecto, estructural, ya que, también se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro. La diferencia es que las estructuras matemáticas son más abstractas, y autónomas, en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar.»
Para ilustrar lo anterior, considérese un «sistema ejemplo» tal como la administración de un club deportivo. Los distintos cargos (presidente, auditor, tesorero, etc.) son independientes de las personas que asumen esas tareas. Considerando sólo el esquema de los cargos (y por tanto «omitiendo» las personas reales que trabajan en ellos), se obtiene la estructura general de una asociación. El club en sí, con las personas que han tomado posesión de los cargos, ejemplifica esta estructura.
Del mismo modo, cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor único ejemplifica la estructura de los números naturales. Lo mismo se aplica a otros objetos matemáticos. Puesto que el estructuralismo no considera los objetos, tales como números, de manera separada de su totalidad o estructura, sino que más bien los considera como "espacios en una estructura", esquiva la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos y los explica como errores categoriales. Así, por ejemplo, el número dos, en tanto número natural, ya no se puede considerar en forma separada de la estructura de los números naturales, sino como el identificador del «segundo lugar en la estructura de los números naturales»: no tiene propiedades internas ni una estructura propia. En consecuencia, existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matemáticos, como otras que rechazan su existencia
Los problemas con esta corriente surgen principalmente de la cuestión de las propiedades y el ser de las estructuras. Al igual que en el problema de los universales es aparente que las «estructuras» son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simultáneamente. Por ejemplo, la estructura de un equipo de fútbol es ciertamente ejemplificado por miles de equipos. Esto plantea la cuestión de si y cómo las estructuras existen, si acaso existen independientes de los sistemas. Otras cuestiones pendientes están relacionadas con el acceso a las estructuras y la de ¿cómo podemos aprender acerca de ellas?
Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro, Michael Resnik, Geoffrey Hellman y Paul Benacerraf.
Ficcionalismo: Las Matemáticas como Historias Útiles
En filosofía de las matemáticas, el ficcionalismo considera que las proposiciones y teorías matemáticas pretenden ser sobre objetos matemáticos abstractos, como sugiere el platonismo, pero no existen cosas tales como objetos abstractos, y por lo tanto las teorías matemáticas no son ciertas.
Se planteó en 1980 cuando Hartry Field publicó Science Without Numbers, que rechazó y de hecho revirtió el argumento de indispensabilidad, donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y por lo tanto se deberían aceptar como un cuerpo de verdades que hablan de entidades independientes existentes. En cambio, Field sugirió que las matemáticas son prescindibles y por lo tanto se deberían considerar como un cuerpo de falsedades que no hablan de nada real.
Empirismo: Las Matemáticas Vienen de la Experiencia
El empirismo matemático se remonta a la obra Un sistema de lógica de John Stuart Mill, quien afirmaba que las matemáticas son una "ciencia basada en la experiencia de validez más general". Para Mill, los conceptos matemáticos provienen del mundo físico, y las verdades de las matemáticas son verdades sobre el mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas. Mill propuso que los principios matemáticos y las conclusiones de la ciencia deductiva (como la geometría, aritmética, álgebra...) se basan en la observación y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas. Por ejemplo, 2 + 2 y 3 + 1 son necesariamente iguales porque un grupo de 4 cosas puede organizarse en dos grupos de 2 cosas y en un grupo de 3 cosas y otro de 1.
Aunque la idea de Mill no interesó mucho a los matemáticos, la idea básica fue retomada por Stephan Körner y László Kalmár. Esta visión ha sido ampliada por otros, como Philip Kitcher, quien busca organizarla, y Carl E. Behrens, quien sugiere que al combinar el empirismo de Mill con el conocimiento de la mente humana, podemos escapar de la idea de un universo platónico y dejar de buscar una certeza absoluta.
Cuasi-Empirismo: Aprendiendo de la Práctica
El término cuasi-empirismo fue introducido por Imre Lakatos para destacar un punto clave de su idea: una teoría matemática basada en la lógica puede ser declarada verdadera, pero una teoría cuasi-empírica (basada en la experiencia) puede ser bien respaldada, pero siempre es una suposición. Además, en una teoría lógica, los principios básicos "demuestran" el resto del sistema; en una teoría cuasi-empírica, los principios básicos se "explican" por el resto del sistema.
El cuasi-empirismo postula que para entender y explicar las matemáticas no basta con analizar su estructura lógica o su lenguaje, sino que hay que estudiar cómo se usan en la vida real: cómo las aplican los matemáticos, cómo las enseñan los profesores y cómo las aprenden los estudiantes, su historia, los cambios que ocurren en ellas, las ideas principales, las comunidades de matemáticos, el tipo de lenguaje que se usa y el papel que juega el conocimiento matemático en las diferentes sociedades y culturas.
- Cuasi-empirismo de Lakatos: Lakatos dice que la supuesta verdad lógica de las matemáticas viene de que hemos olvidado el proceso de pruebas y refutaciones informales, que siempre pueden fallar, y que llevan a las pruebas formales. Lakatos propone que: 1) las pruebas formales pueden ser refutadas por las informales; 2) las matemáticas no son solo un sistema de axiomas, sino que se basan en una serie de pruebas y refutaciones que solo llegan a resultados que pueden fallar; 3) intentar dar bases a las matemáticas lleva a un retroceso sin fin; 4) la historia de las matemáticas debe estudiarse a través de programas de investigación que incluyen una idea central que no se puede refutar y un conjunto de ideas auxiliares que sí pueden ser refutadas, pero que se pueden modificar; 5) debemos preferir el programa matemático que sea progresivo, es decir, que permita descubrir hechos nuevos e inesperados.
- Cuasi-empirismo de Putnam: Hilary Putnam parte de las ideas de Quine sobre la interconexión de las teorías y la relación entre la ciencia y la realidad. En las matemáticas, según Putnam, hay un juego entre suposiciones, pruebas informales y cambios de ideas. Putnam reconoce que las matemáticas no son ciencias experimentales y que son más "a priori" (conocidas de antemano) que, por ejemplo, la física. Sin embargo, señala que la distinción entre lo "a priori" y lo "a posteriori" (conocido por experiencia) es relativa: algo es "a priori" si juega un papel fundamental en nuestra forma de ver el mundo y, por lo tanto, no estamos dispuestos a renunciar a ello. Por ejemplo, la teoría de conjuntos es esencial para la física, por lo que las entidades de las que habla (los conjuntos) deben considerarse reales. Así, las matemáticas comparten el contenido experimental con las teorías físicas de las que forman parte y cambian junto con ellas.
Psicologismo: Las Matemáticas y la Mente
El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la idea de que los conceptos y verdades matemáticas se basan en hechos o leyes de la psicología, o se explican por ellos. John Stuart Mill fue un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX.
Gottlob Frege criticó el psicologismo en sus Los fundamentos de la aritmética y en otras obras. Edmund Husserl también lo criticó en sus Investigaciones lógicas. Sin embargo, revisiones modernas han acusado a las críticas de Frege y Husserl de asumir lo que querían probar, y también han criticado sus ideas sobre la naturaleza de las leyes lógicas.
Teísmo: Matemáticas y un Propósito Mayor
William Lane Craig ha propuesto un argumento realista influenciado por la filosofía de las matemáticas. Este argumento gira en torno al hecho de que, mediante el uso de conceptos matemáticos, se puede descubrir mucho sobre el mundo natural. Por ejemplo, Craig escribe, Peter Higgs, y cualquier científico similar «pueden sentarse en su escritorio y, vertiendo [sic] sobre ecuaciones matemáticas, predicen la existencia de una partícula fundamental que, treinta años más tarde, después de invertir millones de dólares y miles de horas, los experimentadores finalmente son capaces de detectar». Nombra a las matemáticas como el «lenguaje de la naturaleza» y refuta dos posibles explicaciones para esto. En primer lugar, sugiere, la idea de que son entidades abstractas plantea la cuestión de su aplicación. En segundo lugar, responde al problema de si son meramente ficciones útiles, sugiriendo que eso pregunta por qué estas ficciones son tan útiles. Resumió su argumento de la siguiente manera:
A. Si Dios no existiera, la aplicabilidad de las matemáticas sería solo una feliz coincidencia.
B. La aplicabilidad de las matemáticas no es solo una feliz coincidencia.
C. Por lo tanto, Dios existe.A. If God did not exist, the applicability of mathematics would be just a happy coincidence.
B. The applicability of mathematics is not just a happy coincidence.
C. Therefore, God exists.William Lane Craig
Cita al físico y matemático húngaro Eugene Wigner (1902-1995) como una influencia en su pensamiento.
La idea central detrás de este argumento teísta es que la naturaleza inteligible o inteligibilidad propia de la(s) realidad(es) matemática(s) (y su manifiesta relación con la realidad física) encuentra explicación y sentido en último término por referencia a algún Intelecto Eterno o Divino (o Logos) trascendental que pueda ser el fundamento eterno de tales realidades/verdades matemáticas eternas o atemporales.
Cabe destacar también que esta concepción del Logos como el intelecto trascendente que dé sentido y orden racional al mundo no es en absoluto nueva en la tradición filosófica teísta; filósofos antiguos como Filón de Alejandría y el mismo San Agustín (uno de los más importantes filósofos de la tradición del cristianismo y uno de los Padres de la Iglesia) creían ya en concepciones similares de Dios; conceptos heredados y pulidos en una buena parte de filósofos griegos como Heráclito de Éfeso.
Galería de imágenes
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Principia Mathematica, una de las obras más importantes sobre filosofía de las matemáticas.
Véase también
En inglés: Philosophy of mathematics Facts for Kids
- Filosofía de la ciencia
- Fundamentos de la matemática
- Historia de la matemática
