Reductio ad absurdum para niños
La reducción al absurdo es una forma de demostrar algo que se usa mucho en matemáticas y en la lógica. Su nombre viene del latín y significa 'llevar a lo absurdo'. También se le conoce como prueba por contradicción.
Imagina que quieres demostrar que una idea es verdadera. Con este método, lo que haces es suponer que esa idea es falsa. Luego, sigues una serie de pasos lógicos. Si al final de esos pasos llegas a algo que no tiene sentido o que es imposible (una contradicción), entonces eso significa que tu suposición inicial (que la idea era falsa) estaba equivocada. Por lo tanto, la idea original debe ser verdadera.
Es como decir: "Si mi idea fuera falsa, pasaría algo imposible. Como lo imposible no puede pasar, mi idea debe ser verdadera". Este método se basa en que una afirmación no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
Contenido
¿Cómo se usa la reducción al absurdo en matemáticas?
Este método es muy útil para demostrar que una afirmación matemática es cierta. Para ello, se demuestra que si esa afirmación no fuera cierta, se llegaría a una contradicción.
Para que una prueba sea válida, debes demostrar que si una idea "P" no es cierta, entonces eso lleva a una situación que es claramente falsa dentro del sistema matemático que estás usando. Hay que tener cuidado de no caer en una trampa lógica donde algo parece falso, pero en realidad no se ha demostrado que lo sea.
Un ejemplo histórico de esto fue cuando se intentó demostrar un postulado de Euclides (un matemático muy antiguo) usando este método. En ese momento, solo se conocía un tipo de geometría. Pero más tarde, se descubrieron otras geometrías, y se vio que esa "demostración" no era correcta.
Aunque es muy usado, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como válida para todo. Algunas, como el intuicionismo, no aceptan que algo sea verdadero solo porque su opuesto sea falso.
Ejemplos de reducción al absurdo
¿Existe un número racional mínimo mayor que cero?
Vamos a demostrar que "no existe un número racional mínimo que sea mayor que cero".
1. Suponemos lo contrario: Imaginemos que sí existe un número racional mínimo mayor que cero. Llamémoslo r₀. 2. Buscamos una contradicción: Ahora, tomemos la mitad de ese número: x = r₀ / 2. 3. Analizamos el resultado: Sabemos que x es un número racional, es mayor que cero y, además, es más pequeño que r₀ (porque es la mitad). 4. La contradicción: Esto es un problema, porque habíamos dicho que r₀ era el número racional más pequeño mayor que cero. Pero acabamos de encontrar uno más pequeño (x). ¡Esto es una contradicción! 5. Conclusión: Como nuestra suposición inicial nos llevó a una contradicción, significa que esa suposición era falsa. Por lo tanto, es cierto que "no existe un número racional mínimo mayor que cero".
Este tipo de razonamiento se usa mucho para demostrar que algo no existe en matemáticas. Supones que existe, demuestras que eso lleva a una contradicción, y así pruebas que no puede existir.
¿Hay infinitos números primos?
Euclides, un matemático griego, demostró hace mucho tiempo que existen infinitos números primos usando la reducción al absurdo.
1. Suponemos lo contrario: Imaginemos que los números primos son finitos. Es decir, que hay una cantidad limitada de ellos. Podríamos hacer una lista con todos ellos: p₁, p₂, ..., pₙ. 2. Buscamos una contradicción: Ahora, vamos a crear un nuevo número. Multiplicamos todos los números primos de nuestra lista y le sumamos 1. Llamemos a este número m: m = (p₁ × p₂ × ... × pₙ) + 1 3. Analizamos el resultado: * Si m fuera un número primo, no podría estar en nuestra lista original (porque es más grande que cualquiera de ellos). Esto ya sería una contradicción, porque nuestra lista supuestamente tenía a todos los números primos. * Si m no es un número primo, entonces debe ser un número compuesto. Esto significa que m debe ser divisible por algún número primo. * Pero si intentamos dividir m por cualquiera de los números primos de nuestra lista (p₁, p₂, ..., pₙ), siempre nos dará un resto de 1. Esto significa que m no es divisible por ninguno de los primos de nuestra lista. 4. La contradicción: Si m es un número compuesto, pero no es divisible por ningún primo de nuestra lista, entonces debe existir al menos otro número primo que no está en nuestra lista. ¡Esto contradice nuestra suposición inicial de que la lista contenía a todos los números primos! 5. Conclusión: Como nuestra suposición de que los números primos son finitos nos llevó a una contradicción, esa suposición debe ser falsa. Por lo tanto, es cierto que "existen infinitos números primos".
La raíz cuadrada de 2 es irracional
Otro ejemplo famoso es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.
1. Suponemos lo contrario: Imaginemos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional. 2. Expresamos la suposición: Si es un número racional, podemos escribirlo como una fracción p/q, donde p y q son números enteros, q no es cero, y la fracción ya está simplificada al máximo (es decir, p y q no tienen factores comunes, aparte del 1). √2 = p/q 3. Elevamos al cuadrado: Si elevamos ambos lados al cuadrado, obtenemos: 2 = p²/q² 4. Reorganizamos la ecuación: Multiplicamos ambos lados por q²: 2q² = p² 5. Analizamos p: Esta ecuación nos dice que p² es un número par (porque es igual a 2 multiplicado por otro número, q²). Si p² es par, entonces p también debe ser par. 6. Sustituimos p: Como p es par, podemos escribirlo como 2n (donde n es otro número entero). Sustituimos esto en la ecuación: 2q² = (2n)² 2q² = 4n² 7. Simplificamos y analizamos q: Dividimos ambos lados por 2: q² = 2n² Esto nos dice que q² es un número par. Por lo tanto, q también debe ser par. 8. La contradicción: Hemos llegado a la conclusión de que p es par y q es par. Pero al principio, habíamos dicho que p y q no tenían factores comunes (porque la fracción estaba simplificada). Si ambos son pares, ¡tienen un factor común que es 2! Esto es una contradicción. 9. Conclusión: Como nuestra suposición inicial (que la raíz cuadrada de 2 es racional) nos llevó a una contradicción, esa suposición debe ser falsa. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.
Lógica de la reducción al absurdo
En la lógica simbólica, la reducción al absurdo se puede expresar así: Si al tomar un conjunto de ideas verdaderas (S) y añadir la negación de una idea (¬P) llegamos a una contradicción (F), entonces podemos concluir que el conjunto de ideas verdaderas (S) nos lleva directamente a la idea original (P).
Véase también
En inglés: Reductio ad absurdum Facts for Kids
