David Hilbert para niños
Datos para niños David Hilbert |
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 David Hilbert en 1912
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| Información personal | ||
| Nacimiento | 23 de enero de 1862 Königsberg, Prusia Oriental |
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| Fallecimiento | 14 de febrero de 1943 (81 años) Gotinga Alemania nazi |
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| Sepultura | Cementerio municipal de Gotinga | |
| Residencia | Alemania | |
| Nacionalidad | Alemana | |
| Familia | ||
| Cónyuge | Käthe Hilbert | |
| Educación | ||
| Educación | arquitectura | |
| Educado en | Universidad de Königsberg | |
| Supervisor doctoral | Ferdinand von Lindemann | |
| Información profesional | ||
| Área | Matemático | |
| Conocido por | Teorema de la Base de Hilbert Axiomas de Hilbert Problemas de Hilbert Programa de Hilbert Acción de Einstein-Hilbert Espacio de Hilbert |
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| Empleador | Universidad de Königsberg Universidad de Göttingen |
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| Estudiantes doctorales | Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Richard Courant Max Dehn Erich Hecke Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Erhard Schmidt Hugo Steinhaus Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo José Agustín Pérez del Pulgar |
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| Obras notables | teorema de la base de Hilbert | |
| Miembro de |
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| Distinciones |
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David Hilbert (Königsberg, Prusia Oriental; 23 de enero de 1862-Gotinga, Alemania; 14 de febrero de 1943) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando y desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas abiertos que incidió en el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
Contenido
Vida y obra
Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciudad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg (Albertina). En esta se doctoró en 1885, con una disertación, escrita bajo la supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert, en la misma universidad y momento, como aspirante a doctor, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varias ocasiones de sus carreras científicas.
Hilbert trabajó como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquella fecha era el mejor centro de investigación matemática en el mundo; aquí permanecería el resto de su vida.
El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó, en 1888, a la demostración de su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias, usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema fundamental de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia.
Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes de los Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue: «Esto es teología, ¡no matemática!»
Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, con estos términos: «Sin duda este es el trabajo más importante en álgebra general que los Annalen ha publicado nunca». Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría: «He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos».
Axiomatización de la geometría
En su libro "Fundamentos de la geometría", David Hilbert cambió la forma en que vemos la geometría. En lugar de basarse en los axiomas de Euclides, Hilbert propuso un nuevo sistema con 21 axiomas. En este nuevo enfoque, los axiomas no son verdades obvias, sino reglas que creamos. Los conceptos como puntos, líneas y planos pueden reemplazarse por objetos cotidianos como mesas y sillas. Lo que importa son las relaciones entre estos objetos, no su significado específico. Hilbert también unificó la geometría plana y sólida de Euclides en un solo sistema.
Los 23 problemas
David Hilbert planteó 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Estos problemas son considerados los más importantes y profundos jamás propuestos por un matemático. Hilbert no solo redefinió la geometría, sino que también sugirió que su enfoque podría aplicarse a otras áreas de las matemáticas. A través de estos problemas, esperaba guiar el futuro de las matemáticas y revelar nuevos métodos y hechos. Aunque presentó menos de la mitad de los problemas en el congreso, los 23 Problemas de Hilbert se han convertido en un hito en la historia de las matemáticas.El texto al completo es importante, dado que la exégesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuántas han sido resueltas:
1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números, como 
, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de solo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.
Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos. Uno de los problemas se refería a la Hipótesis de Riemann, que es un problema sin resolver en la teoría de números. Hilbert sugirió que si pudiera viajar 500 años en el futuro, consultar si la hipótesis había sido demostrada o refutada y luego regresar para comunicar la respuesta, sería un acto de inmensa utilidad para la comunidad matemática.
Formalismo
Siguiendo la tendencia que se había convertido en estándar a mitad de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert también constituía una especie de manifiesto, que abrió la vía para el desarrollo de la escuela del Formalismo matemático, una de las tres escuelas matemáticas más importantes del siglo XX. De acuerdo al formalismo, la matemática es un juego —carente de significado— en el que uno lo practica con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma. Sin embargo, hay margen para la duda al respecto de si la propia visión de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.
El programa de Hilbert
En 1920 propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse, mostrando que:
- toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente; y
- se puede probar que tal sistema axiomático es consistente.
Parecía tener razones técnicas y filosóficas para formular esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo que se había dado a conocer como ignorabimus, que aún era un problema activo en su tiempo dentro del pensamiento alemán, y que podía rastrearse en esa formulación hasta Emil du Bois-Reymond.
El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de la matemática más popular, donde se le llama normalmente formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versión selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir trabajos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relación con el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en física y lógica.
El trabajo de Gödel
Hilbert y los matemáticos de talento que trabajaron con él en esta empresa estaban dedicados al proyecto. Su intento de dar soporte a la matemática axiomatizada con principios definidos, que eliminara las incertidumbres teóricas, sucumbió en un fracaso inesperado.
Gödel demostró que no se podía demostrar la completitud de ningún sistema formal no contradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritmética, solo mediante sus propios axiomas. En 1931 su teorema de la incompletitud mostró que el ambicioso plan de Hilbert era imposible tal como se planteaba. El segundo requisito no podía combinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomático sea genuinamente finito.
Sin embargo, el teorema de completitud no dice nada al respecto de la demostración de la completitud de la matemática mediante un sistema formal diferente. Los logros posteriores de la teoría de la demostración como mínimo clarificaron la relación de la consistencia con las teorías de interés principal para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había empezado lógico en su camino a la clarificación; la necesidad de entender el trabajo de Gödel llevó entonces al desarrollo de la teoría de la computabilidad y después de la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930–1940. De este 'debate' nació directamente la base para la informática teórica de Alonzo Church y Alan Turing.
La escuela de Göttingen
Entre los alumnos de Hilbert se encuentran Hermann Weyl, el campeón mundial de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann fue asistente suyo. En la Universidad de Göttingen, Hilbert se encontró rodeado por un círculo social constituido por algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church.
Física
Hasta 1912, David Hilbert era principalmente un matemático "puro", pero luego cambió su enfoque hacia la física. Su amigo Hermann Minkowski bromeaba sobre tener que pasar tiempo en cuarentena antes de visitar a Hilbert debido a su inmersión en la física. Hilbert comenzó a estudiar la teoría cinética de los gases y luego se centró en la teoría de la radiación y la materia. Continuó investigando incluso durante la Primera Guerra Mundial.
Hilbert invitó a Albert Einstein a Göttingen para dar conferencias sobre la relatividad general en 1915. Esta colaboración condujo a la formulación final de las ecuaciones de campo de Einstein y la acción de Einstein-Hilbert. Aunque hubo cierta discusión sobre la prioridad en el descubrimiento de estas ecuaciones, Hilbert reconoció la contribución de Einstein y le otorgó la prioridad.
Además, Hilbert influyó en el desarrollo de la mecánica cuántica al trabajar en la formulación matemática necesaria. Su espacio de Hilbert fue fundamental para entender la teoría cuántica y su rigor matemático. Ayudó a darle precisión a la matemática utilizada en la física y contribuyó a libros importantes sobre física matemática, incluso si su contribución no apareció en algunos de ellos.
Teoría de números
Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente 'informe sobre números'). Abatió el problema de Waring en el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco más que decir sobre el tema; pero la emergencia de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante implica que su nombre está más unido a un área importante.
Propuso una serie de conjeturas sobre la teoría de cuerpos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución queda patente en los nombres del cuerpo de clase de Hilbert y el símbolo de Hilbert de la teoría local de cuerpos de clases. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayoría sobre 1930, tras el importante trabajo de Teiji Takagi que lo estableció como el primer matemático japonés de nivel internacional.
Hilbert no trabajó en las áreas principales de la teoría analítica de números, pero su nombre quedó unido a la conjetura de Hilbert-Pólya, por razones anecdóticas.
Charlas, ensayos y contribuciones misceláneas
Su paradoja del Grand Hotel, una meditación sobre las extrañas propiedades del infinito, se usa a menudo en textos populares sobre números cardinales infinitos.
El hotel infinito
El "Hotel Infinito de Hilbert" es un concepto que ilustra la extraña idea de que en la matemática y la teoría de conjuntos infinitos, las cosas pueden ser muy diferentes de lo que experimentamos en la vida cotidiana.
Se trata de un hotel con un número infinito de habitaciones, numeradas desde la habitación 1 hasta el infinito. En este hotel, todas las habitaciones están ocupadas por huéspedes, lo que significa que todas las habitaciones tienen un inquilino.
Ahora, si llega un nuevo huésped al hotel y quiere una habitación. En lugar de decirle que no hay habitaciones disponibles, el conserje puede usar la propiedad infinita de los números naturales para acomodarlo. ¿Cómo? Haciendo que todos los huéspedes actuales se muevan a la habitación con el número de habitación que es el doble de su número actual.
Por ejemplo, el huésped en la habitación 1 se muda a la habitación 2, el huésped en la habitación 2 se muda a la habitación 4, y así sucesivamente. De esta manera, todas las habitaciones con números pares están ocupadas, y todas las habitaciones con números impares están disponibles. El nuevo huésped puede quedarse en la habitación 1.
Pero aquí viene la parte aún más sorprendente: si llega un grupo infinito de nuevos huéspedes, el conserje todavía puede acomodarlos. Por ejemplo, podría pedirle a todos los huéspedes actuales que se muden a una habitación cuyo número sea tres veces su número actual. Entonces, todas las habitaciones con números múltiplos de 3 estarían ocupadas, y las demás estarían disponibles para los nuevos huéspedes. Este proceso se puede repetir infinitas veces para dar cabida a un número infinito de nuevos huéspedes.
El Hotel Infinito de Hilbert ilustra cómo los conjuntos infinitos pueden comportarse de manera muy diferente a los conjuntos finitos. En la matemática, podemos manipular infinitos de maneras sorprendentes y a menudo contraintuitivas, lo que hace que este concepto sea una paradoja interesante y un ejemplo de la riqueza de la teoría de conjuntos infinitos.
Últimos años
Hilbert vivió para ver a los nazis purgar a la mayoría de miembros facultativos sobresalientes de la Universidad de Göttingen, en 1933.Entre aquellos forzados a marcharse estuvieron Hermann Weyl, que había ocupado la cátedra de Hilbert al retirarse en 1930, Emmy Noether y Edmund Landau. Uno de los que hubo de dejar Alemania fue Paul Bernays, colaborador de Hilbert en lógica matemática y coautor con él del importante libro Grundlagen der Mathematik (que acabó presentándose en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Esta fue una secuela del libro de Hilbert-Ackermann Fundamentos de lógica teórica de 1928.
Un año después, asistió a un banquete y lo sentaron al lado del nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust. Rust le preguntó: «¿Cómo va la matemática en Göttingen ahora que ha sido liberada de la influencia judía?» A lo que Hilbert contestó, «¿La matemática en Göttingen? Ya no queda nada de eso».
Para cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían reestructurado casi por completo la universidad, ya que mucho del personal facultativo anterior era judío o estaba casado con judíos. Al funeral de Hilbert asistió menos de una docena de personas, y solo dos de ellas eran colegas académicos.
En su tumba, en Göttingen, se puede leer su epitafio:
Debemos saber, sabremos (en alemán, Wir müssen wissen, wir werden wissen)
Irónicamente, el día antes de que Hilbert pronunciase esta frase, Kurt Gödel presentaba su tesis, que contenía el famoso teorema de incompletitud: hay cosas que sabemos que son ciertas, pero que no podemos probar.
Frases célebres
- "Las matemáticas no son un deporte de competición, sino un esfuerzo por entender el universo."
- "No hay nada más importante que un problema en matemáticas, no importa si es difícil o fácil."
- "Las matemáticas saben más acerca de sí mismas que de cualquier otra cosa."
- "Desde el principio, las matemáticas han tenido como destino su propio desarrollo."
- "Las matemáticas son una ciencia en la que se trata de probar cosas aparentemente obvias de una manera no tan obvia."
Datos de interés
- Hilbert es conocido por su influyente lista de 23 problemas matemáticos presentados en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1900. Estos problemas plantearon desafíos significativos para la comunidad matemática y contribuyeron al desarrollo de muchas ramas de las matemáticas durante el siglo XX.
- Hilbert hizo contribuciones significativas a una amplia variedad de áreas matemáticas, incluyendo la geometría, el álgebra abstracto, la teoría de números y la lógica matemática. Su trabajo influyó en la formación de la matemática moderna.
- Kurt Gödel, otro matemático influyente, demostró el famoso teorema de incompletitud, que tuvo un impacto en la lógica matemática. Esta demostración desafiaba el programa de Hilbert de encontrar un conjunto completo de axiomas para toda la matemática y condujo a una rivalidad intelectual entre los dos matemáticos.
- Hilbert fue un maestro prolífico y supervisó a muchos estudiantes destacados en matemáticas. Sus enseñanzas y orientación tuvieron un impacto duradero en la comunidad matemática.
- En 1928, Hilbert formuló su "último enunciado" como un problema en teoría de números. Este problema se resolvió parcialmente décadas después, en 1970, por el matemático Yuri Matiyasevich.
- A pesar de no recibir el Premio Nobel de Matemáticas (que no existe), Hilbert fue honrado póstumamente de diversas maneras. Muchos matemáticos consideran que su legado es fundamental para el desarrollo de la matemática moderna.
- Además de las matemáticas, Hilbert también tenía un interés en la filosofía y la música. Fue conocido por tocar el violonchelo y tenía una amplia cultura general.
Eponimia
Además de numerosas entidades y teoremas matemáticos que portan su apellido, la designación de dos elementos astronómicos le rinde homenaje:
- El cráter lunar Hilbert
- El asteroide (12022) Hilbert
Galería de imágenes
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Tumba de David Hilbert en Göttingen:Wir müssen wissen'Wir werden wissen
-
8 primeros pasos de la construcción de la curva de Hilbert.
Véase también
En inglés: David Hilbert Facts for Kids
- Curva de Hilbert
- Matriz de Hilbert
- Espacio de Hilbert
- Transformada de Hilbert
- Hilbert Nullstellensatz
- Axiomas de Hilbert
- Teorema de la Base de Hilbert
- Paradoja de Hilbert del hotel infinito
- Entscheidungsproblem
