Problemas de Hilbert para niños
Los problemas de Hilbert son una famosa lista de 23 desafíos matemáticos. Fueron presentados por el matemático alemán David Hilbert en una conferencia en París en el año 1900. En ese momento, todos estos problemas estaban sin resolver. Muchos de ellos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas durante el siglo XX.
Hilbert presentó diez de los problemas en la conferencia, el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa de los 23 problemas se publicó más tarde.
Contenido
¿Qué son los Problemas de Hilbert?
Los problemas de Hilbert son como grandes rompecabezas matemáticos. David Hilbert los propuso para guiar a los matemáticos del futuro. Quería que se enfocaran en áreas importantes y difíciles de las matemáticas.
La Influencia de los Problemas
La lista de Hilbert fue muy exitosa. Aunque otros matemáticos intentaron crear listas similares, ninguna tuvo tanto impacto. Esto se debe en parte a la fama de Hilbert. Él era muy respetado y dirigía una importante escuela de matemáticas en la Universidad de Gotinga.
En 1900, las matemáticas estaban cambiando. Se empezaban a usar más símbolos y reglas claras. Hilbert no pudo prever algunos avances importantes que vendrían después. Por ejemplo, no anticipó el gran desarrollo de la topología (el estudio de las formas) o la lógica matemática.
Aun así, la comunidad matemática aceptó rápidamente la lista de Hilbert. Resolver uno de estos problemas era una forma de ganar mucho prestigio.
¿Cuántos Problemas Había?
Originalmente, Hilbert incluyó 24 problemas en su lista. Sin embargo, decidió no publicar uno de ellos. Este "problema número 24" fue descubierto en el año 2000 por un historiador alemán llamado Rüdiger Thiele. Lo encontró en las notas originales de Hilbert.
Estado Actual de los Problemas
De los problemas que Hilbert formuló claramente, muchos ya tienen una solución aceptada. Otros tienen soluciones parciales, lo que significa que hay cierto debate sobre si la solución es completa. Algunos problemas siguen sin resolverse. Otros son tan generales que es difícil decir si alguna vez se "resolverán" por completo.
Por ejemplo, el problema 8 incluye la hipótesis de Riemann, que es uno de los desafíos más grandes de las matemáticas hoy en día.
¿Cuáles Problemas se Han Resuelto?
Varios problemas de Hilbert ya han sido resueltos por matemáticos de todo el mundo. Aquí te mostramos algunos ejemplos:
- Problema 3: Resuelto. Se demostró que no siempre es posible cortar un poliedro en piezas para formar otro del mismo volumen.
- Problema 5: Resuelto por Andrew Gleason en 1952.
- Problema 7: Resuelto. Se demostró que ciertos números son trascendentales (no son raíces de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros).
- Problema 10: Resuelto. Se probó que no existe un algoritmo general para saber si una ecuación diofántica tiene soluciones enteras.
- Problema 13: Resuelto negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.
- Problema 14: Resuelto. Se encontró un contraejemplo que demostró que no siempre se cumple la finitud de ciertos sistemas de funciones.
- Problema 17: Resuelto. Se estableció un límite para el número de términos cuadrados necesarios.
- Problema 19: Resuelto por Sergei Natanovich Bernstein en 1904. Se demostró que las soluciones de ciertos problemas son analíticas.
- Problema 20: Resuelto. Ha sido un área importante de investigación y se han encontrado soluciones para casos no lineales.
- Problema 22: Resuelto por Paul Koebe y Henri Poincaré de forma independiente en 1907.
Problemas Parcialmente Resueltos o en Debate
Algunos problemas tienen soluciones que no son aceptadas por todos, o que solo resuelven una parte del problema:
- Problema 1: Se ha probado que es imposible demostrarlo como cierto o falso usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso sobre si esto es una solución completa.
- Problema 2: Parcialmente resuelto. Algunos creen que es imposible establecerlo en un sistema consistente.
- Problema 9: Parcialmente resuelto.
- Problema 11: Parcialmente resuelto.
- Problema 15: Parcialmente resuelto.
- Problema 18: Resuelto, pero la solución a una parte de este problema (la ecuación de Kepler) se hizo con ayuda de una computadora, lo que generó debate porque un humano no puede verificarla fácilmente.
- Problema 21: Resuelto, pero la respuesta depende de cómo se formule exactamente el problema.
Problemas Sin Resolver o Demasiado Vagos
Todavía hay problemas de Hilbert que no tienen una solución completa o que son tan amplios que es difícil definirlos como "resueltos":
- Problema 8: Incluye la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach, ambas sin resolver.
- Problema 12: Sin resolver.
- Problema 16: Sin resolver.
- Problema 23: Sin resolver.
- Los problemas 4, 6 y 16 son considerados demasiado generales para ser declarados resueltos algún día. El problema 24, que Hilbert no publicó, también entra en esta categoría.
Lista de Problemas
Aquí tienes un resumen de los 23 problemas de Hilbert:
| Problema | Explicación sencilla | Estado |
|---|---|---|
| 1.º | ¿Existe un conjunto de números cuyo tamaño esté entre los números racionales y los números reales? | No se puede probar como cierto o falso con los axiomas comunes. |
| 2.º | ¿Se puede probar que las reglas básicas de la aritmética son consistentes (sin contradicciones)? | Parcialmente resuelto. |
| 3.º | Si dos figuras 3D (poliedros) tienen el mismo volumen, ¿siempre se puede cortar una en piezas para formar la otra? | Resuelto: No. |
| 4.º | Encontrar todas las formas de medir distancias donde las líneas rectas son el camino más corto. | Resuelto. |
| 5.º | ¿Son los grupos continuos siempre grupos diferenciales? | Resuelto. |
| 6.º | Crear un sistema de reglas (axiomas) para toda la física. | Parcialmente resuelto para algunas áreas de la física. |
| 7.º | ¿Es un número elevado a otro número (con ciertas características) siempre trascendental? | Resuelto: Sí. |
| 8.º | Incluye la hipótesis de Riemann (sobre números primos) y la conjetura de Goldbach (que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos). | Sin resolver. |
| 9.º | Encontrar una ley general para la reciprocidad en ciertos tipos de números. | Parcialmente resuelto. |
| 10.º | ¿Existe un método (algoritmo) para saber si una ecuación polinómica tiene soluciones enteras? | Resuelto: No existe tal algoritmo. |
| 11.º | Resolver ecuaciones cuadráticas con ciertos tipos de coeficientes. | Parcialmente resuelto. |
| 12.º | Extender un teorema sobre extensiones de números racionales a otros tipos de números. | Sin resolver. |
| 13.º | Resolver ecuaciones de 7.º grado usando funciones de dos variables. | Resuelto negativamente. |
| 14.º | Probar si ciertos sistemas de funciones son finitos. | Resuelto: No, en general. |
| 15.º | Dar una base sólida a un tipo de cálculo llamado "cálculo enumerativo de Schubert". | Parcialmente resuelto. |
| 16.º | Estudiar la forma (topología) de curvas y superficies algebraicas. | Sin resolver. |
| 17.º | Expresar una función racional como una suma de cuadrados. | Resuelto. |
| 18.º | ¿Existe un poliedro irregular que pueda construir otros poliedros? ¿Cuál es la forma más densa de apilar esferas? | Resuelto. |
| 19.º | ¿Son siempre "analíticas" las soluciones de ciertos problemas matemáticos? | Resuelto: Sí. |
| 20.º | ¿Tienen solución todos los problemas de cálculo de variaciones con ciertas condiciones? | Resuelto. |
| 21.º | Probar la existencia de ecuaciones diferenciales lineales con un grupo específico. | Resuelto, dependiendo de la formulación exacta. |
| 22º | Transformar relaciones analíticas usando funciones especiales (automorfas). | Resuelto. |
| 23.º | Extender los métodos del cálculo de variaciones. | Sin resolver. |
Véase también
- Problemas de Smale
- Problemas del milenio
