Teorema para niños

Esta imagen muestra la relación entre las cadenas de caracteres,. En algunos sistemas formales, sin embargo, el conjunto de los teoremas coincide con el de las fórmulas bien formadas.

Un teorema es una proposición cuya verdad se demuestra. En matemáticas, es toda proposición que, partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una racionabilidad (tesis) no evidente por sí misma.

También puede decirse que un teorema es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros teoremas. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica matemática. Los teoremas también pueden ser expresados en lenguaje natural formalizado.

Los teoremas generalmente poseen un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. La conclusión del teorema es una afirmación lógica o matemática que es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o la conclusión.

Se llama corolario a una afirmación lógica que es consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema de referencia.

Teorema

Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas (sistema axiomático) y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados pero no son axiomas.

En lógica proposicional y de primer orden, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica se llama demostración a una secuencia finita de fórmulas bien formadas (fórmulas lógicas bien formadas) F₁, ...,F_n, tales que cada F_i es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores F_j y F_k (tales que j<i y k<i) mediante una regla de deducción. Dada una demostración como la anterior si el elemento final F_n no es un axioma entonces es un teorema. Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente, un teorema es una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula bien formada para la cual existe una demostración.

Teoremas intervinculados

Siendo p y q dos proposiciones se obtienen los siguientes teoremas, intercambiando la hipótesis con la conclusión y luego considerando las negaciones de las proposiciones originales.

Teorema directo:

Teorema recíproco:

Teorema inverso:

Teorema contrarrecíproco:

Terminología en Matemáticas

En matemática una afirmación debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan:

• Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más amplio. Algunas veces, los lemas adquieren tanta importancia que se vuelven teoremas, como el lema de Gauss y el lema de Zorn, por ejemplo. Estos, por sí mismos, son teoremas, aunque, por razones históricas, la palabra lema permanece en su nombre.
• Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.
• Proposición: una afirmación o resultado no asociado a ningún teorema en particular. Muchos expertos usan proposición como sinónimo de teorema.

• Conjetura o hipótesis, un enunciado matemático que se supone verdadero, aún no demostrado. Como ejemplos, de larga data: la conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann.

Teoremas dentro de otras ciencias

Con frecuencia en física o economía algunas afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras afirmaciones o hipótesis básicas se llaman comúnmente teoremas. Sin embargo, frecuentemente las áreas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema lógico por lo que estrictamente debería usarse con cautela el término teorema para referirse a esas afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos «más básicos».

Teoremas célebres

Algunos de los teoremas más conocidos son:

• Teorema de Pappus-Guldin
• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Bayes
• Teorema del binomio
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Teorema de incompletitud de Gödel
• Teorema del límite central
• Teorema de los números primos
• Teorema de la divergencia
• Teorema de Bell
• Teorema de Stokes
• Teorema de Tales
• Teorema de los ceros de Hilbert
• Teorema de Frobenius
• Teorema de Fermat-Wiles
• Teorema de Morley
• Teorema de Shannon
• Teorema de la Bisectriz
• Teorema del Valor Medio
• Teorema de Taylor
• Teorema de Rolle
• Teorema de Cauchy

Véase también

En inglés: Theorem Facts for Kids

• Axioma
• Sistema axiomático
• Tautología
• Teoría