Poliedro para niños
Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de ἕδρα (hedra), «base», «asiento», «cara».
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro es el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.
Contenido
Definición
Se llama poliedro a todo cuerpo acotado, limitado por un número finito de superficies planas.
Se demuestra que las superficies planas que limitan un poliedro son polígonos.
Un poliedro convexo es un poliedro P, que a su vez es un conjunto convexo; es decir si contiene dos puntos A y B, incluye al segmento que ellos determinan.
Denominación de los poliedros
Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.
Frecuentemente un poliedro se califica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales y además todos los ángulos poliedros son iguales, se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.
Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.
Criterios de clasificación de los poliedros
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
- Poliedros convexos, cuando contiene en su interior todos los segmentos que unen dos puntos también contenidos en el poliedro. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de karim.
- Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
- Poliedro de caras congruentes, cuando todas las caras son iguales.
- Poliedro de aristas congruentes, cuando los pares de caras que se reúnen en cada arista son iguales.
- Poliedro de vértices congruentes, cuando las caras que se reúnen en cada vértice son las mismas y en el mismo orden.
- Poliedro transitivo de caras o isoedral, cuando para cualquier par de caras, estas son equivalentes bajo las simetrías del poliedro.
- Poliedro transitivo de aristas o isotoxal, cuando para cualquier par de aristas, estas son equivalentes bajo las simetrías del poliedro.
- Poliedro transitivo de vértices o isogonal, cuando para cualquier par de vértices, estos son equivalentes bajo las simetrías del poliedro.
- Poliedro regular, cuando es de caras regulares, transitivo de vértices, transitivo de aristas y transitivo de caras.
Estos grupos no se excluyen entre sí, es decir, un poliedro puede pertenecer a varias categorías.
Clasificación según el número de caras
El nombre que se le asigna a un poliedro según su número de caras se compone de un prefijo numeral más el sufijo -edro. La siguiente lista muestra varios ejemplos:
| Nombre | Número de caras |
|---|---|
| henaedro o monoedro | 1 |
| diedro | 2 |
| triedro | 3 |
| tetraedro | 4 |
| pentaedro | 5 |
| hexaedro | 6 |
| heptaedro | 7 |
| octaedro u octoedro | 8 |
| eneaedro o nonaedro | 9 |
| decaedro | 10 |
| endecaedro o undecaedro | 11 |
| dodecaedro | 12 |
| tridecaedro | 13 |
| tetradecaedro | 14 |
| pentadecaedro | 15 |
| hexadecaedro | 16 |
| heptadecaedro | 17 |
| octadecaedro u octodecaedro | 18 |
| eneadecaedro o nonadecaedro | 19 |
| icosaedro o isodecaedro | 20 |
| triacontaedro o tricontaedro | 30 |
| tetracontaedro | 40 |
| pentacontaedro o pentecontaedro | 50 |
| hectaedro | 100 |
| chiliaedro | 1.000 |
| miriaedro | 10.000 |
| decamiriaedro | 100.000 |
| hectamiriaedro o megaedro | 1.000.000 |
| gigaedro | 1.000.000.000 |
| yottaedro | 1024 |
| googoledro | 10100 |
| apeiroedro | infinitos |
| n-edro | n |
Reglas de nombramiento
El prefijo numeral que forma parte de estos nombres se puede dividir en otros prefijos más específicos, los cuales describen cada dígito del número de caras del poliedro, y en el mismo orden en que aparecen (excepto cuando hay un 1 en la posición de las decenas; caso en el que se intercambia de lugar el prefijo de las decenas con el de las unidades).
Los prefijos que describen cada dígito pueden a su vez estar compuestos por otros dos prefijos, donde el primero indica cuál es el dígito que describe (es decir, si es un 1, un 2, etc.) y el segundo cuál es la posición del dígito (decenas, centenas, etc.), aunque en algunos casos el dígito es descrito con solo un prefijo de estos:
- Las unidades se describen solamente con un prefijo de dígito.
- Cuando el dígito es un 1 se describe únicamente con su prefijo de posición correspondiente.
- icosa- puede colocarse en lugar de isodeca-.
La siguiente tabla muestra los tipos de prefijo de dígito y de posición:
| Prefijo de dígito | Dígito | Prefijo de posición | Posición |
|---|---|---|---|
| en-, hena- o mono- | 1 | conta- o deca- | 10 |
| di-, do- o iso- | 2 | hecta- | 100 |
| tri- o tria- | 3 | chilia- | 1.000 |
| tetra- | 4 | miria- | 10.000 |
| penta- o pente- | 5 | decamiria- | 100.000 |
| hexa- o hexe- | 6 | hectamiria- o mega- | 1.000.000 |
| hepta- | 7 | decamega- | 10.000.000 |
| octa- u octo- | 8 | hectamega- | 100.000.000 |
| enea- o nona- | 9 | ... | |
Familias de poliedros
Poliedros regulares
Un poliedro regular es aquel que tiene caras y vértices iguales, por ejemplo un cubo (también llamado hexaedro regular). El cubo posee seis polígonos regulares como caras, estos a su vez se unen en vértices, habiendo tres cuadrados en cada vértice. Existen nueve poliedros regulares finitos, más tres teselaciones regulares, sumando doce en total.
Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Sólidos de Kepler-Poinsot
Los sólidos de Kepler-Poinsot o sólidos de Kepler son poliedros regulares, finitos y, a diferencia de los sólidos platónicos, no son convexos. Dos de ellos se obtienen estelando los sólidos platónicos. En total son cuatro: el gran dodecaedro, el pequeño dodecaedro estrellado, el gran icosaedro y el gran dodecaedro estrellado.
Teselados
Los teselados o teselaciones son poliedros regulares, no convexos, y poseen la propiedad de que cubren el plano completo. Solo existen cinco teselados regulares: el teselado triangular, el teselado cuadrado y el teselado hexagonal.
Poliedros irregulares
Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene caras irregulares, o incongruencias entre sus caras o vértices.
Sólidos arquimedianos
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos y uniformes, pero no transitivos de caras. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Son trece: el tetraedro truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el octaedro truncado, el rombicuboctaedro, el cuboctaedro truncado, el cubo romo, el icosidodecaedro, el dodecaedro truncado, el icosaedro truncado, el rombicosidodecaedro, el dodecaedro romo y el icosidodecaedro truncado. Esta familia no incluye a los prismas ni los antiprismas.
Poliedros prismáticos uniformes
El resto de poliedros convexos y uniformes restantes consiste de prismas y antiprismas, los cuales en conjunto llevan el nombre de poliedros prismáticos. Estos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los poliedros prismáticos son una familia infinita.
Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas bases, directrices o caras directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo.
Los antiprismas también constan de dos directrices, pero en este caso van unidas por triángulos isósceles, donde la base de cada triángulo va unida a una arista de una de las bases del antiprisma, y el vértice del triángulo va unido a un vértice de la otra base.
También existen poliedros prismáticos no convexos, como los que poseen estrellas como bases, y existen infinitos de estos. Además, existe el prisma y el antiprisma apeirogonal. Estos cubren el plano completo y por lo tanto son teselaciones.
Sólidos de Johnson
Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos de caras regulares restantes. Solo uno de ellos es de vértices congruentes y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson. Los sólidos de Johnson son en total 92 y se clasifican en las siguientes categorías: las pirámides, las cúpulas y rotondas, las pirámides elongadas y giroelongadas, las bipirámides, las cúpulas y rotondas elongadas y giroelongadas, las bicúpulas, las cúpularrotondas y birrotondas, las bicúpulas elongadas, las cúpularrotondas y birrotondas elongadas, las bicúpulas, cupularrotondas y birrotondas giroelongadas, los prismas aumentados, los dodecaedros aumentados, los icosaedros disminuidos aumentados y disminuidos, los sólidos de Arquímedes aumentados, los rombicosidodecaedros girados y disminuidos, otros sólidos Arquimedeanos girados y disminuidos, los antiprismas romos, y otros sólidos de Johnson.
Otras familias de poliedros
Sólidos de Catalan
Corresponden a los duales de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices), y viceversa. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.
Los trece sólidos de Catalan son: el triaquistetraedro, el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal.
Deltaedros
Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los sólidos platónicos se encuentran el tetraedro, el octaedro y el icosaedro; y del grupo de los sólidos de Johnson están la bipirámide triangular, la bipirámide pentagonal, la bipirámide cuadrada giroelongada, el biesfenoide romo y el prisma triangular triaumentado.
Véase también
En inglés: Polyhedron Facts for Kids
- Polígono
- Sólidos platónicos
- Teorema de poliedros de Euler.
- Politopo
- Trapezoedro
- Defecto angular
- Diagrama de Schlegel
- Spidron
- Anexo:Figuras geométricas
