Dodecaedro para Niños

Datos para niños Dodecaedro regular
Familia: Sólidos platónicos
Imagen del sólido
Aristas	30
Vértices	20
Grupo de simetría	Icosaédrico (I_h)
Poliedro dual	Icosaedro

Un dodecaedro (del griego δωδεκαεδρον dōdekáedron, de δώδεκα dōdeka, ‘doce’ y ἕδρα edra; ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina 'regular', siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecaédrico de Poincaré sería la forma del Universo y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.

Dodecaedro regular

Plantilla para armar un dodecaedro regular.

Cálculo de dimensiones fundamentales

Radio externo: $r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a \approx 1.401258538 \cdot a$
Radio interno: $r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } \approx 1.113516364 \cdot a$

En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2. Se conoce como característica de Euler, una propiedad topológica.

C + V = A + 2 \,

donde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de aristas

Área

Animación de uno de los desarrollos del Dodecaedro.

El área total de las caras de un dodecaedro regular , A (que es 12 veces el área de una de ellas, A_c) es igual a:

A = 12 \cdot \frac{\sqrt{25+10 \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2 = 3 \sqrt{25+10 \sqrt{5}} \cdot a^2 \approx 20,65\cdot a^2

También se puede con esta fórmula basada en parte en la trigonometría:

A = \frac{15 l^2}{\tan 36^o}

Volumen

Para un dodecaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen. V mediante la siguiente fórmula:

V = \frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right)\cdot a^3 \approx 7,66 \cdot a^3

Ángulos diedros

Los ángulos entre cada par de caras son:

\alpha = 180 - \arccos \left(\tan{18} \times \tan{54}\right) = 116,57^o

Propiedades particulares

Simetría

Dado de un juego de rol (Dungeons & Dragons) en forma de dodecaedro.

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.

Aplicaciones y ejemplos

En los juegos de rol el dado de doce caras es un dodecaedro regular. Su notación escrita es «D12», Se usan dodecaedros de Rubik y Calendarios Dodecaedros También es la forma más usual para la construcción de las fuentes sonoras omnidireccionales usadas para realizar ensayos acústicos de aislamiento a ruido aéreo.

Véase también

En inglés: Dodecahedron Facts for Kids

Dodecaedro romo
Dodecaedro truncado
Dodecaedro triaumentado

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