Disquisitiones arithmeticae para niños
Datos para niños Disquisitiones arithmeticae |
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| de Carl Friedrich Gauss | ||
 Página del título en la primera edición
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| Género | Tratado | |
| Tema(s) | Teoría de números | |
| Edición original en latín | ||
| Editorial | Apud G. Fleischer | |
| Ciudad | Leipzig | |
| Fecha de publicación | 1801 | |
| Edición traducida al español | ||
| Traducido por | Hugo Barrantes Campos, Michael Josephy, Ángel Ruiz Zúñiga | |
| Editorial | Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales | |
| Ciudad | Bogotá, D.C. | |
| País | Colombia | |
| Fecha de publicación | 1995 | |
Disquisitiones arithmeticae es un libro muy importante sobre la teoría de números. Fue escrito por el famoso matemático Carl Friedrich Gauss cuando tenía solo 21 años, en 1798. Se publicó por primera vez en 1801 en Leipzig, Alemania.
En este libro, Gauss reunió muchos descubrimientos sobre números. Incluyó trabajos de otros grandes matemáticos como Fermat, Euler, Lagrange y Legendre. Además, añadió sus propios e importantes hallazgos.
Contenido
¿Qué es la teoría de números?
La teoría de números es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números enteros. Se enfoca en cómo se comportan los números, sus relaciones y patrones.
¿Qué temas cubre el libro de Gauss?
Las Disquisitiones tratan tanto la parte básica de la teoría de números como temas más avanzados. Hoy en día, estos temas forman parte de lo que llamamos teoría algebraica de números.
Gauss no usó el término "grupo", que es una idea clave en el álgebra abstracta moderna. Sin embargo, sus ideas sentaron las bases para este concepto. El título del libro, "Disquisitiones arithmeticae", significa "Investigaciones aritméticas".
En el prefacio del libro, Gauss explicó su enfoque: Las investigaciones de este libro tratan sobre la parte de las Matemáticas que se ocupa de los números enteros y, a veces, de las fracciones. Siempre se excluyen los números irracionales.
Contenido principal del libro
El libro está dividido en siete secciones principales. Cada sección explora un aspecto diferente de la teoría de números.
Sección 1: Números congruentes
Esta sección introduce una idea y una forma de escribir muy importantes: las congruencias. Las congruencias son una manera de hablar sobre los restos de una división.
Gauss definió la congruencia así: Si un número a divide la diferencia entre b y c, entonces b y c son "congruentes" respecto a a. Si no, son "incongruentes". El número a se llama "módulo".
La notación '≡' se usa para mostrar la congruencia. Por ejemplo, -16 ≡ 9 (mod. 5) significa que 5 divide a -16-9. Gauss explicó que esta notación es similar a la igualdad.
Gauss también mostró que la idea de congruencia funciona bien con las operaciones matemáticas normales, como sumar o multiplicar.
Sección 2: Congruencias de primer grado
Aquí, Gauss presenta resultados sobre números enteros usando las congruencias. Por ejemplo, el lema de Euclides y el teorema de descomposición en producto de factores primos aparecen en esta sección.
También explica cómo resolver ecuaciones de primer grado con congruencias. Ofrece dos métodos, que atribuye a Euler y Lagrange.
Otros temas incluyen el teorema chino del resto y las propiedades de la función indicatriz de Euler.
Sección 3: Residuos de potencias
Esta sección se enfoca en cómo se comportan las potencias de un número cuando se dividen por un número primo.
Gauss discute el pequeño teorema de Fermat, que fue demostrado por primera vez por Euler. También analiza cuántos "residuos modulares" hay para un cierto "orden multiplicativo".
Se pregunta cómo encontrar las "raíces primitivas" de un número. Gauss menciona que la mayoría de los métodos para hallarlas se basan en probar y error.
También presenta una versión general del teorema de Wilson.
Sección 4: Congruencias de segundo grado
Gauss explica que hay la misma cantidad de "residuos cuadráticos" (números que son cuadrados perfectos al dividirlos por un número primo) que de "no residuos cuadráticos".
Luego, busca todos los módulos para los cuales un número dado es un residuo cuadrático. Por ejemplo, para -1, 2, -2, 3, -3, 5 y -5.
El "teorema fundamental" de esta sección es la ley de reciprocidad cuadrática. Gauss fue el primero en demostrar este importante resultado. También creó un método para saber si un número es un residuo cuadrático.
Sección 5: Formas cuadráticas
En esta parte, Gauss estudia las "formas cuadráticas" con dos incógnitas. Estas son expresiones matemáticas que involucran términos al cuadrado.
Analiza cómo se pueden clasificar estas formas cuadráticas y cómo cambian cuando se modifican las coordenadas.
¿Por qué es importante este libro?
Antes de las Disquisitiones, la teoría de números era un conjunto de ideas y problemas separados. Gauss unió todo el conocimiento existente con sus propios descubrimientos. Los organizó de forma lógica, corrigió errores y amplió el campo de estudio.
La forma en que Gauss estructuró el libro (presentando un teorema, luego su demostración y después sus corolarios) se convirtió en el modelo para futuros libros de matemáticas. Aunque valoraba las demostraciones lógicas, también usaba muchos ejemplos numéricos para explicar sus ideas.
Las Disquisitiones fueron el punto de partida para el trabajo de muchos matemáticos importantes del siglo XIX, como Kummer, Dirichlet y Dedekind. Muchas de las notas de Gauss en el libro eran adelantos de sus futuras investigaciones. Algunas de estas ideas, aunque misteriosas para sus contemporáneos, hoy se entienden como el inicio de teorías como las funciones L y la multiplicación compleja.
Galería de imágenes
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Página del título en la primera edición
Véase también
En inglés: Disquisitiones Arithmeticae Facts for Kids
