Lema de Euclides para niños
El lema de Euclides es una idea importante en las matemáticas, especialmente en el estudio de los números. Es una regla que nos ayuda a entender cómo se relacionan los números cuando uno de ellos divide a un producto. Esta idea viene de un libro muy antiguo llamado Los Elementos, escrito por un matemático griego llamado Euclides hace más de 2300 años.
Este lema nos dice que si un número entero (llamémoslo n) divide el resultado de multiplicar otros dos números (llamémoslos a y b), y además n no comparte ningún factor común con a (excepto el 1), entonces n debe dividir al otro número, b.
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Esto significa que si n divide a a multiplicado por b, y n y a son "amigos" que no comparten divisores, entonces n tiene que ser un divisor de b.
La idea original de Euclides, que es la proposición 30 del libro VII de Los Elementos, es un poco más específica y se conoce como el primer teorema de Euclides. Dice lo siguiente:
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En otras palabras, si un número primo p divide a a multiplicado por b, entonces p debe dividir a a o debe dividir a b (o a ambos).
El lema de Euclides es muy útil y se usa para demostrar otros teoremas importantes en matemáticas, como el teorema fundamental de la aritmética, que nos dice que cada número entero mayor que 1 se puede escribir de forma única como una multiplicación de números primos.
Contenido
¿Cómo se demuestra el Lema de Euclides?
Demostrar algo en matemáticas significa explicar por qué es verdad usando pasos lógicos. Aquí te mostramos cómo se demuestra el lema de Euclides.
Paso 1: Entendiendo los números coprimos
Imagina que tenemos un número p (que es primo) y otro número a. Si p y a no tienen ningún factor común aparte del 1, decimos que son "coprimos". Por ejemplo, 7 y 10 son coprimos porque sus únicos factores comunes son el 1.
Cuando dos números son coprimos, existe una regla matemática llamada la identidad de Bézout. Esta identidad dice que podemos encontrar otros dos números enteros (llamémoslos x e y) de tal manera que si multiplicamos a por x y p por y, y luego sumamos esos resultados, obtenemos 1. Así: ax + py = 1
Paso 2: La demostración paso a paso
Ahora, vamos a demostrar el lema. Supongamos que tenemos un número primo p y que p divide al producto de a y b (es decir, ab). También sabemos que p y a son coprimos. Queremos demostrar que p debe dividir a b.
1. Como p y a son coprimos, sabemos por la identidad de Bézout que existen números enteros x e y tales que: ax + py = 1
2. Ahora, vamos a multiplicar toda esta ecuación por b: b(ax + py) = b Esto nos da: bax + bpy = b
3. Sabemos que p divide a ab. Esto significa que ab es un múltiplo de p. Podemos escribir ab como pr, donde r es otro número entero.
4. Ahora, sustituimos ab por pr en nuestra ecuación: prx + bpy = b
5. Fíjate que en el lado izquierdo de la ecuación, ambos términos tienen p como factor. Podemos sacar p como factor común: p(rx + by) = b
6. Como rx + by es un número entero (porque r, x, b e y son enteros), esta última ecuación nos dice que b es igual a p multiplicado por un número entero. Esto significa, por definición, que p divide a b.
¡Y así hemos demostrado el lema!
Historia del Lema de Euclides
El lema de Euclides es una parte fundamental de la teoría de números y tiene una historia muy interesante.
Origen en los Elementos de Euclides
La primera vez que esta idea apareció fue en el libro Los Elementos de Euclides, específicamente como la proposición 30 en el Libro VII. Este libro es una de las obras matemáticas más influyentes de todos los tiempos y sentó las bases de la geometría y la teoría de números. Desde entonces, el lema de Euclides se ha incluido en casi todos los libros que enseñan los principios básicos de los números.
La generalización y otros nombres
La versión más general del lema, que aplica a cualquier número entero n (no solo a los primos), apareció en un libro de texto llamado Nouveaux Elémens de Mathématiques en 1681, escrito por Jean Prestet.
Más tarde, un famoso matemático llamado Carl Friedrich Gauss también usó este lema en su importante obra Disquisitiones arithmeticae. Gauss lo utilizó para demostrar que cada número entero se puede descomponer en factores primos de una manera única. Por esta razón, a veces la versión general del lema de Euclides se le llama "lema de Gauss", aunque algunos matemáticos prefieren no usar ese nombre para evitar confusiones con otro lema de Gauss que trata sobre residuos cuadráticos.
Véase también
En inglés: Euclid's lemma Facts for Kids
- Elementos de Euclides
- Identidad de Bézout
- Algoritmo de Euclides
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