Geometría no euclidiana para niños
La geometría no euclidiana se refiere a cualquier tipo de geometría que es diferente de la geometría euclidiana, la cual fue descrita por el matemático griego Euclides en su famoso libro Elementos.
En la geometría euclidiana, se usan cinco reglas o "postulados". Las geometrías no euclidianas cambian al menos una de estas reglas. Aunque hay muchas geometrías no euclidianas, si nos enfocamos en espacios donde la curvatura es la misma en todas partes (llamados espacios homogéneos), podemos distinguir tres tipos principales:
- La geometría euclidiana sigue los cinco postulados de Euclides. En esta geometría, el espacio es "plano" (tiene curvatura cero), y la suma de los ángulos de cualquier triángulo siempre es 180 grados.
- La geometría hiperbólica solo sigue los primeros cuatro postulados de Euclides. En esta geometría, el espacio tiene una curvatura negativa. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es menor de 180 grados.
- La geometría elíptica también sigue solo los primeros cuatro postulados de Euclides. Aquí, el espacio tiene una curvatura positiva. En esta geometría, la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180 grados.
Estas geometrías son casos especiales de las geometrías riemannianas. En las geometrías riemannianas, la curvatura del espacio puede cambiar de un punto a otro. Esto es importante en la teoría de la relatividad general, donde la gravedad hace que el espacio-tiempo se curve de manera diferente según la cantidad de masa que haya cerca.
Contenido
¿Cómo se diferencian las geometrías?
La principal diferencia entre estas geometrías se ve en cómo se comportan las líneas paralelas. El quinto postulado de Euclides, conocido como el postulado de las paralelas, dice que si tienes una línea recta y un punto fuera de ella, solo puedes dibujar una única línea que pase por ese punto y que nunca se cruce con la primera línea.
- En la geometría euclidiana, las líneas paralelas se mantienen a una distancia constante entre sí y nunca se encuentran.
- En la geometría hiperbólica, si dibujas una línea y un punto fuera de ella, puedes trazar infinitas líneas que pasen por ese punto y que nunca se crucen con la primera línea. Además, las líneas que empiezan paralelas se "curvan" y se alejan entre sí.
- En la geometría elíptica, cualquier línea que dibujes desde un punto siempre se cruzará con la primera línea. Esto significa que no existen líneas paralelas en esta geometría. Las líneas se "curvan" y se encuentran.
Historia de las geometrías no euclidianas
¿Cuándo se empezó a dudar de la geometría de Euclides?
La geometría euclidiana ha existido por mucho tiempo, desde el matemático griego Euclides. Sin embargo, el debate sobre las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como Euclides escribió su obra Elementos.
En los Elementos, Euclides parte de unas pocas ideas básicas (definiciones, nociones comunes y cinco postulados) y a partir de ellas demuestra todos los demás resultados. El más famoso de estos postulados es el "quinto postulado de Euclides" o "postulado de las paralelas". Este postulado parecía más complicado que los otros cuatro:
- 1. Se puede trazar una línea recta entre dos puntos cualquiera.
- 2. Una línea recta finita se puede extender continuamente en línea recta.
- 3. Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
- 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Durante más de mil años, muchos matemáticos pensaron que el quinto postulado podía demostrarse a partir de los otros cuatro. Intentaron probarlo por contradicción, es decir, suponiendo que era falso para ver si llegaban a algo imposible. Entre ellos estuvieron Ibn al-Haytham (siglo XI), Omar Khayyám (siglo XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (siglo XIII) y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII).
Aunque no lograron demostrar el quinto postulado, sus intentos les llevaron a descubrir algunas propiedades de las geometrías hiperbólica y elíptica. Por ejemplo, Johann Lambert en el siglo XVIII también intentó demostrar el quinto postulado y descubrió que la suma de los ángulos de un triángulo en una geometría diferente aumentaba a medida que el área del triángulo disminuía.
El nacimiento de nuevas geometrías
A principios del siglo XIX, de forma independiente, matemáticos como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski y János Bolyai lograron construir la geometría hiperbólica. Lo hicieron al intentar negar el quinto postulado de Euclides y buscar una contradicción. En lugar de una contradicción, encontraron una geometría coherente donde los ángulos de un triángulo sumaban menos de 180 grados.
Más tarde, Eugenio Beltrami y Felix Klein confirmaron la validez de la geometría hiperbólica, demostrando que era tan consistente como la geometría euclidiana. Esto significa que si la geometría hiperbólica tuviera alguna contradicción, la euclidiana también la tendría.
Se dice que Gauss, intrigado por la posibilidad de que la geometría del universo no fuera euclidiana, intentó medir los ángulos de un gran triángulo formado por tres cimas de montañas. Sin embargo, sus instrumentos no eran lo suficientemente precisos para obtener una respuesta definitiva.
Tipos de geometrías con curvatura constante
Geometría hiperbólica: ¿cómo es?
En la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre menor que 180 grados. Esta geometría se puede entender visualmente con modelos como el "disco de Poincaré", donde las líneas rectas se ven como curvas.
Geometría elíptica: ¿cómo es?
La geometría elíptica es otro tipo de geometría no euclidiana donde el espacio tiene una curvatura positiva constante. Un buen ejemplo para entenderla es la superficie de una esfera. En una esfera, las "líneas rectas" son los círculos más grandes que se pueden dibujar, como el ecuador o los meridianos.
En esta geometría, si tienes una "línea recta" (una geodésica) y un punto fuera de ella, no puedes trazar ninguna otra "línea recta" que no se cruce con la primera. Esto significa que no hay líneas paralelas en la geometría elíptica.
Geometría euclidiana: el caso intermedio
La geometría euclidiana se considera un caso especial entre la elíptica y la hiperbólica. Es una geometría con curvatura cero, es decir, es "plana". Cualquier espacio que tenga curvatura cero es muy parecido al espacio euclidiano.
Geometrías con curvatura variable
Geometría riemanniana general
Bernhard Riemann, siguiendo las ideas de Gauss, estudió geometrías donde la curvatura puede cambiar de un punto a otro. Estas se conocen como geometrías riemannianas. En estas geometrías, el espacio no es igual en todas partes, lo que permite distinguir unos puntos de otros.
Esto es muy importante en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein. En esta teoría, la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, y esta curvatura es lo que percibimos como campo gravitatorio. Los objetos se mueven siguiendo las "líneas más rectas posibles" (llamadas geodésicas) dentro de esta geometría curva.
La ecuación de Einstein dice que la curvatura promedio del espacio está relacionada con la densidad de materia. Esto significa que la geometría del universo no es siempre plana, sino que se curva debido a la presencia de masa y energía.
Modelos para entender las geometrías
Para entender mejor las geometrías no euclidianas, se usan modelos matemáticos:
- La geometría euclidiana se representa con un "plano plano".
- El modelo más sencillo para la geometría elíptica es una esfera. Las "líneas" son los círculos máximos (como el ecuador).
- Para la geometría hiperbólica, se usa una superficie llamada pseudoesfera o el "modelo de Klein".
En estos modelos, las líneas rectas de la geometría no euclidiana a veces se ven como curvas en nuestro espacio euclidiano. Pero esta "curvatura" es solo una forma de representarlas, no una propiedad real de las líneas en esas geometrías.
Galería de imágenes
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Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles: la geometría euclidea de curvatura nula, la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa.
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Tres «bloques» con superficies variables, sobre los que se «dibujan» un punto y algunas líneas para demostrar la geometría elíptica, euclidiana y la hiperbólica.
Véase también
En inglés: Non-Euclidean geometry Facts for Kids
