Topología algebraica para niños

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que usa herramientas del álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos. Su objetivo principal es encontrar características especiales, llamadas "invariantes algebraicas", que nos ayudan a clasificar y entender las formas de estos espacios. Imagina que quieres saber si dos objetos tienen la misma forma, incluso si los estiras o los doblas sin romperlos. La topología algebraica te da las herramientas para hacerlo.

Aunque esta área usa principalmente el álgebra para resolver problemas de formas, a veces también se puede usar el estudio de las formas para resolver problemas de álgebra. Por ejemplo, la topología algebraica puede ayudar a demostrar que un tipo especial de grupo, llamado "subgrupo de un grupo libre", es también un grupo libre.

Un toro, una forma común estudiada en topología algebraica.

¿Qué estudia la topología algebraica?

La topología algebraica se enfoca en varias áreas clave para entender las formas de los objetos.

Grupos de homotopía: ¿Cómo son los "agujeros" de una forma?

Los grupos de homotopía son herramientas que se usan para clasificar los espacios topológicos. El más sencillo de ellos es el grupo fundamental. Este grupo nos da información sobre los "bucles" o caminos cerrados que puedes hacer en un espacio. Piensa en un donut: puedes hacer un bucle alrededor del agujero central. Los grupos de homotopía nos dicen cuántos "agujeros" tiene una forma y cómo están conectados.

Homología: Identificando las características de un objeto

La homología es un método general para asociar una secuencia de grupos (llamados "grupos abelianos") a un objeto matemático. Esto puede ser un espacio topológico o un grupo. La palabra "homología" viene del griego y significa "idéntico", lo que sugiere que busca las partes "iguales" o las características comunes de los objetos.

Cohomología: Una mirada más detallada a las formas

La cohomología es un concepto relacionado con la homología. Se define a partir de algo llamado "complejo de co-cadenas". Puedes pensar en la cohomología como una forma de asignar características algebraicas a un espacio topológico. Estas características son más detalladas que las que obtenemos con la homología. La cohomología nos ayuda a entender las formas de una manera más profunda.

Variedades: Espacios que se parecen a nuestro mundo localmente

Una variedad es un espacio topológico que, si lo miras de cerca en cualquier punto, se parece a nuestro espacio tridimensional (el espacio euclídeo). Ejemplos de variedades son el plano, la esfera y el toroide (la forma de un donut). Algunas variedades, como la botella de Klein, no se pueden dibujar en tres dimensiones, pero sí en cuatro. En topología algebraica, se estudian las propiedades globales de estas variedades, es decir, cómo son en su conjunto.

Teoría de nudos: El estudio de los nudos matemáticos

La teoría de nudos estudia los nudos matemáticos. A diferencia de los nudos que hacemos con cordones, un nudo matemático tiene sus extremos unidos, por lo que no se puede deshacer. Imagina un círculo en el espacio tridimensional. Dos nudos son iguales si puedes transformar uno en el otro sin cortar la cuerda ni pasarla a través de sí misma.

Complejos: Construyendo formas con piezas simples

Un complejo simplicial es un tipo de espacio topológico que se construye "pegando" puntos, segmentos de recta, triángulos y sus versiones de más dimensiones. Piensa en construir una forma compleja usando solo piezas muy simples.

Un complejo de CW es otro tipo de espacio topológico. Fue creado para ayudar en la Teoría de la homotopía. Estos complejos son más generales que los complejos simpliciales y son muy útiles para hacer cálculos.

El método de los invariantes algebraicos

El objetivo principal de la topología algebraica es clasificar los espacios topológicos. Antes, esta área se llamaba "topología combinatoria", porque se enfocaba en cómo construir un espacio a partir de piezas más pequeñas.

El método actual es estudiar los espacios usando "invariantes algebraicos". Esto significa que a cada espacio topológico se le asocia un objeto algebraico, como un grupo. Estos grupos tienen una estructura que podemos usar. Lo importante es que si dos espacios son "homeomorfos" (es decir, tienen la misma forma fundamental), entonces sus grupos asociados serán iguales.

Las dos formas principales de hacer esto son a través de los grupos fundamentales (o la Teoría de homotopía en general) y los grupos de homología y cohomología. Los grupos fundamentales nos dan información básica sobre la estructura de un espacio. Sin embargo, a veces son difíciles de manejar.

Por otro lado, los grupos de homología y cohomología son más sencillos de usar. En muchos casos importantes, se pueden clasificar completamente, lo que los hace muy útiles para los matemáticos.

Aplicaciones de la topología algebraica

La topología algebraica tiene muchas aplicaciones interesantes, algunas de ellas son:

• El Teorema del punto fijo de Brouwer: Este teorema dice que si tomas un disco (como una moneda) y lo transformas de forma continua dentro de sí mismo, siempre habrá al menos un punto que no se mueve de su lugar.
• El rango libre del grupo de homología de un complejo simplicial nos da el número de Betti, que ayuda a calcular la característica de Euler-Poincaré de una forma.
• Una variedad es "orientable" (como una hoja de papel que tiene un lado "arriba" y un lado "abajo") si su grupo de homología de la dimensión más alta es un número entero. Si es 0, no es orientable (como una banda de Möbius, que solo tiene un lado).
• El teorema de la bola peluda: Este teorema dice que no puedes peinar una bola peluda sin dejar un remolino o un punto calvo. En matemáticas, significa que una esfera solo puede tener un "campo vectorial" continuo que no se anule en ningún punto si su dimensión es impar.
• El teorema de Borsuk-Ulam: Si tomas una esfera y la aplastas sobre un plano, siempre habrá al menos dos puntos opuestos en la esfera que terminan en el mismo lugar en el plano.
• Cualquier subgrupo de un grupo libre es también un grupo libre. Este resultado es sorprendente porque la afirmación es de álgebra, pero la prueba más sencilla es de topología.

Herramientas importantes

Para calcular los invariantes en topología algebraica, se usan varios teoremas fundamentales:

• Teorema de Seifert-van Kampen
• Sucesión de Mayer-Vietoris
• Teorema del punto fijo de Brouwer
• Teorema de aproximación celular
• Teorema de Dold-Thom
• Teorema de Eilenberg-Ganea
• Teorema de Eilenberg-Zilber
• Teorema de la suspensión de Freudenthal
• Teorema de Hurewicz
• Teorema de Künneth
• Teorema del punto fijo de Lefschetz
• Teorema de Leray-Hirsch
• Teorema de dualidad de Poincaré
• Teorema del coeficiente universal
• Teorema de Whitehead

Galería de imágenes

• 

  Un 3-complejo simplicial.

Véase también

En inglés: Algebraic topology Facts for Kids

• Homeomorfismo
• Topología geométrica
• Teoría geométrica de grupos