Espacio topológico para niños

Cuatro ejemplos de topologías y dos que no lo son, en el conjunto de tres puntos {1,2,3}.
El ejemplo inferior izquierdo no es una topología porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, no es parte de la colección.
El ejemplo inferior derecho tampoco, porque la intersección de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, no es parte de la colección.

Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad y vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado. La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología. Las variedades, al igual que los espacios métricos, son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.

Definición

Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumple las tres propiedades siguientes:

1. El conjunto vacío y X están en T.

   

2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T está en T.

   

3. La unión de cualquier subcolección de conjuntos de T está en T.

Esta condición también se escribe, formalmente:

A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos o simplemente abiertos de (X,T); y a sus complementos en X, conjuntos cerrados.

Ejemplos

• La topología trivial o indiscreta: es la formada por y .
• La topología discreta: es la formada por el conjunto de las partes de .
• La topología de los complementos finitos: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementarios son finitos.
• La topología de los complementos numerables: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementarios son numerables.
• Dado un subconjunto , la colección de subconjuntos es una topología en X.
• R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones (cualesquiera) de intervalos abiertos. En este caso un conjunto es abierto si para todo punto de él existe un intervalo abierto que contiene al punto y dicho intervalo abierto está totalmente contenido en el mencionado conjunto.
• Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topología del límite inferior.
• La topología de Sierpinski es la colección T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) se llama espacio de Sierpinski.
• Una topología T sobre X, usando algunas partes de A, que es parte propia de X. El par (X,T) es un espacio topológico cuyos abiertos son ciertas partes de A y el conjunto X. Para este caso X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = {∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} es una topología sobre X.

Topología inducida por la métrica

En todo espacio métrico (X,d) se puede definir de manera natural una topología dada por la métrica del espacio. En esta topología, denominada topología métrica, los conjuntos abiertos son uniones arbitrarias de bolas abiertas: la bola abierta de centro y radio es el conjunto de los puntos de X que están a una distancia d de estrictamente menor que

La topología métrica generaliza la noción usual de conjunto abierto en la recta real y en los espacios euclídeos de 2 o 3 dimensiones, permitiendo una aproximación de carácter local a la topología.

En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?

Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y con su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".

No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquier vecindad de b encuentra R - A.

No todas las topologías provienen de una métrica: hay espacios que son metrizables y otros que no lo son. El Teorema de Nagata-Smírnov, entre otros, permite determinar si un espacio topológico es metrizable o no.

La topología pretende abstraer conceptos familiares de los espacios métricos, pero sin hacer referencia a una distancia. Por ello, se sustituye el concepto de bola abierta por el, más general, de entorno o vecindad. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Existe cierta libertad para definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:

1. x pertenece a todas sus vecindades.
2. Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.
3. La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.
4. En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.

Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:

1. E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad universal: para todo x... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)
2. Una unión de abiertos O_i es un superconjunto de cada O_i, y O_i es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto, la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).
3. Sea x un punto de la intersección de los abiertos O₁ y O₂. O₁ y O₂ son abiertos que contienen x y por lo tanto vecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O₁ O₂ es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.

Propiedades de un espacio topológico

• Compacidad
• Conectividad
• Axiomas de separación

Véase también

En inglés: Topological space Facts for Kids

• Glosario de topología.
• Topología.