Símbolo de Schläfli para niños
En geometría, el símbolo de Schläfli es una notación sencilla que nos ayuda a entender las características importantes de las formas geométricas regulares o de los patrones que cubren una superficie sin dejar huecos. Este símbolo lleva el nombre del matemático suizo Ludwig Schläfli, quien hizo grandes aportes a las matemáticas.
Contenido
El Símbolo de Schläfli: Una Clave para las Formas Geométricas
El símbolo de Schläfli es como una receta que se construye paso a paso. Nos permite describir formas en diferentes dimensiones.
Cómo Funciona para Polígonos
Para empezar, un polígono regular (una figura plana con todos sus lados y ángulos iguales) se describe con un solo número dentro de llaves. Este número indica cuántos lados tiene el polígono.
- `{3}` es un triángulo equilátero (3 lados).
- `{4}` es un cuadrado (4 lados).
- `{5}` es un pentágono regular (5 lados).
Describiendo Poliedros: Formas 3D
Un poliedro regular es una forma tridimensional con caras que son polígonos regulares. Su símbolo de Schläfli tiene dos números, por ejemplo, `{p, q}`.
- El primer número, `p`, nos dice cuántos lados tiene cada cara del poliedro.
- El segundo número, `q`, nos dice cuántas de esas caras se unen en cada vértice (esquina) del poliedro.
Por ejemplo, un cubo tiene caras cuadradas (`{4}`) y en cada vértice se juntan 3 de esas caras. Por eso, el símbolo de Schläfli del cubo es `{4, 3}`.
Los sólidos platónicos son cinco poliedros regulares muy conocidos. Sus símbolos de Schläfli son:
- Para el tetraedro: `{3, 3}` (caras triangulares, 3 caras en cada vértice).
- Para el cubo: `{4, 3}` (caras cuadradas, 3 caras en cada vértice).
- Para el octaedro: `{3, 4}` (caras triangulares, 4 caras en cada vértice).
- Para el dodecaedro: `{5, 3}` (caras pentagonales, 3 caras en cada vértice).
- Para el icosaedro: `{3, 5}` (caras triangulares, 5 caras en cada vértice).
Es interesante ver que el cubo y el octaedro tienen sus símbolos invertidos entre sí, al igual que el dodecaedro y el icosaedro. El tetraedro es especial porque su símbolo es igual al revés.
Formas con Más Dimensiones
El símbolo de Schläfli también se usa para describir formas con más de tres dimensiones, llamadas politopos.
- Un politopo de cuatro dimensiones, por ejemplo, que tiene "celdas" (sus partes 3D) con el símbolo `{p, q}`, y donde `r` de esas celdas se unen en cada vértice, se representa como `{p, q, r}`. El hipercubo de cuatro dimensiones, por ejemplo, es `{4, 3, 3}`.
En general, un politopo de `n` dimensiones se describe con un símbolo más largo, como `{p, q, r, ..., v, w}`.
Polígonos Estrellados
Algunas formas regulares pueden tener lados que se cruzan, formando polígonos estrellados. Su símbolo de Schläfli se escribe como una fracción, por ejemplo, `{p/s}`. La fracción `p/s` debe ser irreducible.
- Por ejemplo, `{8/3}` representa una estrella de 8 puntas, donde los vértices se conectan saltando de 3 en 3.
- El gran dodecaedro estrellado, que es un poliedro con caras en forma de estrella, se representa como `{5/2, 3}`. Esto significa que tiene 12 caras que son pentagramas (`{5/2}`), y 3 de estas caras se unen en cada vértice.
Politopos Duales
Cada politopo regular tiene un "politopo dual". Su símbolo de Schläfli es el mismo que el original, pero con los números en orden inverso. Si un politopo es igual a su propio dual, su símbolo de Schläfli será simétrico (igual al derecho y al revés).
Teselaciones Regulares
El símbolo de Schläfli también se puede usar para describir patrones regulares que cubren una superficie sin dejar huecos, como los mosaicos.
- Por ejemplo, una teselación hexagonal (un patrón hecho de hexágonos) se expresa como `{6, 3}`. Esto significa que está hecha de hexágonos (`{6}`) y en cada punto donde se unen los hexágonos, convergen 3 de ellos.
Sólidos de Kepler-Poinsot
Existen también poliedros regulares que no son convexos (tienen partes que "entran" hacia adentro). Estos son los sólidos de Kepler-Poinsot. Sus símbolos de Schläfli son:
- Pequeño dodecaedro estrellado: `{5/2, 5}`
- Gran dodecaedro: `{5, 5/2}`
- Gran dodecaedro estrellado: `{5/2, 3}`
- Gran icosaedro: `{3, 5/2}`
Historia del Símbolo
Este símbolo fue creado por el matemático suizo Ludwig Schläfli (1814-1895) en el siglo XIX. Él hizo descubrimientos muy importantes en la geometría multidimensional, que estudia las formas en espacios con muchas dimensiones.
Véase también
En inglés: Vertex Facts for Kids
- Estrella mágica
- Fractal
