Notación matemática para Niños

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación, una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: $\scriptstyle a, \, b, \, i, \, k, \, x, \,y$ , etc.
Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: $\scriptstyle \cos \alpha, \, \exp x$ , etc.; en lugar de $\scriptstyle \ln x$ no debe escribirse $\scriptstyle lnx$ , porque eso representaría el producto $\scriptstyle l \cdot n \cdot x$ en lugar del logaritmo neperiano.
Según la norma ISO/IEC 80000 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales ( $\scriptstyle \text{e}, \, \text{i}$ ), también se escriben con letra redonda: $\scriptstyle a \text{e}^x$ .

Contenido

Teoría de conjuntos
- Conjuntos numéricos
  - Conjuntos numéricos especiales
Expresiones
Lógica proposicional, álgebra de Boole
Véase también

Teoría de conjuntos

Artículos principales: Teoría de conjuntos y Álgebra.

Sean $x$ un elemento y $A,B$ conjuntos

Relación	Notación	Se lee
pertenencia	$x\in A$	x pertenece a A
inclusión	$A\subset B$	A está contenido en B
	$A\subseteq B$	A está contenido en B o es igual que B
inclusión	$A\supset B$	A contiene a B
	$A\supseteq B$	A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo $x\not\in A$ es "x no pertenece a A";

Conjuntos numéricos

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

TeX	Unicode	Uso en matemáticas
$\mathbb C \!$	ℂ	Números complejos
$\mathbb H\!$	ℍ	Cuaterniones
$\mathbb N\!$	ℕ	Números naturales
$\mathbb P\!$	ℙ	Números primos
$\mathbb Q\!$	ℚ	Números racionales
$\mathbb R\!$	ℝ	Números reales
$\mathbb S \!$	𝕊	Esfera
$\mathbb Z\!$	ℤ	Números enteros

Conjuntos numéricos especiales

\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}

\mathbb{N}_0 =\mathbb{N}^{*} =\mathbb{N}\cup\{0\}= \{0,1,2,3,\ldots\}

\mathbb{Z} = \{\ldots -3,-2,-1,0,1,2,3\ldots\}

\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^-= \{0,1,2,3,\ldots\}

\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a, b \in\mathbb{Z} \quad \land \quad b\neq 0\}

\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a \in\mathbb{Z} \quad \land \quad b \in\mathbb{N} \}

\mathbb{R} = \mbox{El conjunto de los números reales }

\mathrm{Irracionales} =\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}

\overline{\mathbb{R}} =\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} = \mbox{ La recta real ampliada}

\mathbb{C} = \{ c: \quad c = a + b \cdot i \quad / \quad a, b \in\mathbb{R}\quad \land \quad i^2 = -1 \}

\mathbb{S}^1 = \{z\in\mathbb{C} \colon \|z\|=1\}

Expresiones

Relación	Notación	Se lee
igualdad	$x = y$	x es igual que y
menor que	$x < y$	x es menor que y
mayor que	$x > y$	x es mayor que y
aproximado	$x \approx y$	x es aproximadamente igual que y

Cuantificador	Notación	Se lee
cuantificador universal	$\forall x\ ...$	para todo x
cuantificador existencial	$\exists x\ ...$	Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad	$\exists! x\ ...$	Existe un único x
tal que	$x \mid y$	x, tal que y
por lo tanto	$x \therefore y$	x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

La función f está acotada.
La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

" $f : [a,b] \subseteq \mathbb R \longrightarrow \mathbb R, a < b \Longrightarrow \exists r, s \in [a, b]\mid \forall x \in [a,b]: f(r) \leq f(x) \leq f (s)$ ".

Lógica proposicional, álgebra de Boole

Artículos principales: Cálculo lógico y Conectiva lógica.

Operadores básicos

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean $p$ y $q$ dos proposiciones

Operación	Notación	Se lee
Negación	$\neg p$	no 'p'
Conjunción	$p \land q$	'p' y 'q'
Disyunción	$p \lor q$	'p' o 'q'

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Implicación

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe $p \to q$ o $p \Rightarrow q$ como abreviatura de $\neg p \lor q$ . La declaración " $p$ implica $q$ " es falsa siempre que $p$ sea verdad pero no necesariamente $q$ .

Si $p \Rightarrow q$ y $q \Rightarrow p$ , se escribe $p \Leftrightarrow q$ , que se lee " $p$ implica y es implicada por $q$ ", o bien " $p$ si y solo si $q$ ".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción: Salgo tarde

\land

no tengo vehículo

\Rightarrow

llegaré tarde al trabajo.

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Disyunción lógica: viajo en bus

\lor

viajo en mi auto

\Rightarrow

o lo uno o lo otro.

Contradicciones del lenguaje

Si decimos: aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano, entonces, podríamos entender que aquí hay alguien.

Negación lógica: no

\neg

hay nadie

\Rightarrow

aquí hay alguien.

Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.

Negación lógica: no

\neg

produce nada

\Rightarrow

produce algo.

Cuantificadores

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre	Notación	Se lee
cuantificador universal	$\forall x\ldots$	Para todo x...
cuantificador existencial	$\exists x\ldots$	Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad	$\exists ! x\ldots$	Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma $\forall x\ ,\ p \quad o \quad \exists y \mid q$ que se leen "para todo $x$ , es verdad que $p$ " y "existe por lo menos un $y$ tal que $q$ es verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que $\neg \forall x\ ,\ p$ dice lo mismo que dice $\exists x | \neg p$ . En palabras, decir "no es para todo $x$ que $p$ es verdad" es igual que decir "existe $x$ tal que $p$ es falsa".

Teoría de números

Artículo principal: Teoría de números

Véase también

En inglés: Mathematical notation Facts for Kids

Anexo:Tabla de símbolos matemáticos
Anexo:Constantes matemáticas
Ayuda:Uso de TeX

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