Historia de las ecuaciones diferenciales para niños

Una ecuación diferencial es un tipo especial de ecuación matemática. A diferencia de las ecuaciones que resuelves en la escuela para encontrar un número (como `x - 2 = 0`, donde `x` es 2), en una ecuación diferencial buscamos una función. Estas ecuaciones nos muestran cómo una cantidad cambia con respecto a otra.

Imagina que tienes una función, por ejemplo, la posición de un coche en el tiempo. La ecuación diferencial te diría cómo cambia esa posición (su velocidad) o cómo cambia la velocidad (su aceleración). Resolverla significa encontrar la función original que describe el movimiento del coche.

Estas ecuaciones son muy importantes porque nos ayudan a entender y predecir cómo funcionan muchas cosas en el mundo real. Por ejemplo, se usan para describir:

• El movimiento de los planetas.
• Cómo se dobla un cable colgante.
• La forma más rápida de ir de un punto a otro.
• Cómo se propaga el calor.

Al principio, los matemáticos y físicos se interesaron mucho en estas ecuaciones por su gran utilidad práctica. También eran un desafío, ya que encontrar sus soluciones era muy difícil. Cada vez que se descubría una nueva forma de resolver una, era un gran avance.

Las ecuaciones diferenciales aparecieron alrededor de 1675, gracias a matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. Ellos y sus seguidores buscaron métodos para resolverlas. Durante más de cien años, los métodos que tenían eran suficientes para las aplicaciones de la época. Sin embargo, con el tiempo, se necesitaron nuevas formas de resolver problemas más complejos, lo que llevó a desarrollar teorías más sólidas.

¿Quiénes descubrieron las Ecuaciones Diferenciales?

Los primeros pasos

El estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó con Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Ellos se preguntaron: si sabemos cómo algo cambia, ¿podemos encontrar la cantidad original? Por ejemplo, si sabemos la velocidad de un objeto, ¿podemos saber su posición en cualquier momento?

Newton encontró una manera de resolver estos problemas usando series matemáticas. Leibniz, por su parte, quería soluciones que mostraran la "naturaleza" de las curvas y no solo series. Él buscaba transformar las ecuaciones para que fueran más fáciles de resolver, separando las variables.

Antes del siglo XVIII, matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann Bernoulli (1667-1748) ya estaban integrando (resolviendo) ecuaciones diferenciales.

A veces, incluso si se podían separar las variables, seguía siendo difícil encontrar la solución final. Johann Bernoulli señaló que separar las variables podía ocultar la verdadera naturaleza del problema.

Con el tiempo, los matemáticos empezaron a estudiar ecuaciones diferenciales más complejas, que involucraban cambios de cambios (derivadas de orden superior). Por ejemplo, Jacopo Riccati (1676-1754) presentó una ecuación en 1723 que fue resuelta por Daniel Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler.

Las bases de la teoría general de las ecuaciones diferenciales lineales fueron desarrolladas en 1765 por Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Jean le Rond D'Alembert (1717-1783). Ellos mostraron cómo encontrar la solución completa de una ecuación a partir de soluciones más simples.

En 1715, Brook Taylor (1685-1731) ya había encontrado soluciones para ecuaciones de segundo grado. En 1758, Euler notó algo curioso sobre estas soluciones. A medida que se estudiaban sistemas físicos más complejos, como en la astronomía, se necesitaban resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.

El problema del movimiento de dos cuerpos bajo la gravedad fue resuelto por Newton en 1687. Pero no fue hasta 1734 que Daniel Bernoulli lo resolvió de forma analítica. El problema de "n" cuerpos (muchos cuerpos interactuando) es mucho más difícil y aún se estudia hoy. Este problema llevó al desarrollo de métodos para encontrar soluciones aproximadas, con aportes de Clairaut, Euler, Lagrange y Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

El estudio y la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales recibieron un gran impulso con las ideas de Lagrange, quien aplicó un método importante a un sistema de tres ecuaciones en 1808.

El Siglo XIX y nuevas ideas

A principios del siglo XIX, los matemáticos no se preocupaban mucho por si las soluciones de las ecuaciones diferenciales realmente existían. Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien se interesó por este tema. Él demostró por primera vez que un tipo de problema con ecuaciones diferenciales sí tenía solución.

Cauchy presentó diferentes formas de demostrar la existencia de soluciones. Más tarde, en 1868, Rudolf Lipschitz (1832-1903) demostró la existencia y unicidad de soluciones bajo condiciones más generales. Este resultado se conoce como el Teorema de Cauchy-Lipschitz.

En su libro de 1833, Charles Picard explicó de manera clara los resultados sobre la existencia de soluciones. Las condiciones que usó aseguraban no solo que la solución existiera, sino que fuera única, al menos en una parte específica.

Al estudiar sistemas físicos, a menudo es útil saber ciertas propiedades de las soluciones (como si son estables o periódicas) sin tener que encontrar la solución exacta, lo cual puede ser muy difícil. Así nació la Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales, que estudia las propiedades de las soluciones directamente desde la ecuación.

En 1836, Jacques Sturm publicó un artículo donde estudió las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden desde un nuevo punto de vista. Como la mayoría no se podían resolver analíticamente, él intentó estudiar sus propiedades directamente. Jules Henri Poincaré (1854-1912), en su estudio sobre la mecánica celeste, destacó la importancia de las propiedades cualitativas de las soluciones y la limitación de los métodos analíticos, creando así su teoría "geométrica" de las ecuaciones diferenciales.

Poincaré estudió ecuaciones lineales y encontró que ciertas funciones relacionadas con sus soluciones tenían propiedades similares a otras funciones importantes. Muchas de estas técnicas se usaron para estudiar problemas de la mecánica clásica, como el problema de los tres cuerpos.

Por otro lado, los trabajos de Aleksandr Liapunov (1857-1918) sentaron las bases de la Teoría Cualitativa. Él investigó el problema general de la estabilidad de los movimientos. Sus publicaciones de 1907 y 1906 desarrollaron muchas de las técnicas que aún se usan hoy. A él se le deben el primer y segundo método que llevan su nombre. Liapunov y Poincaré transformaron el estudio de las ecuaciones diferenciales, tanto lineales como no lineales, aportando métodos y conceptos fundamentales.

Otros matemáticos importantes en Ecuaciones Diferenciales

Muchos otros matemáticos hicieron contribuciones significativas a la teoría de las ecuaciones diferenciales:

Friedrich Bessel

Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), de Alemania, hizo aportes en astronomía y en 1817 estudió el trabajo de Kepler. Introdujo las funciones de Bessel, que son soluciones de un tipo específico de ecuación diferencial.

Pafnuti Chebyshov

El ruso Pafnuti Chebyshov (1821-1894) trabajó en teoría de números y probabilidad. También estudió funciones ortogonales y los polinomios de Chebyshov, que aparecen en la solución de ciertas ecuaciones diferenciales.

Alexis Clairaut

El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hizo aportes a la geometría y la astronomía. Estableció la ecuación de Clairaut y encontró soluciones especiales para ella en 1734.

Peter Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), de Alemania, hizo aportes en teoría de números, mecánica de fluidos y análisis matemático. Estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier, que son importantes en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Joseph Fourier

El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubrió las series de Fourier en sus investigaciones sobre el flujo de calor en 1822. Estas series son una herramienta fundamental para resolver ecuaciones diferenciales que describen fenómenos de ondas y calor.

Ferdinand Frobenius

El alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) estudió métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales. También hizo aportes importantes en álgebra y teoría de grupos.

Karl Gauss

El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. Hizo aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica y geometría. La ecuación hipergeométrica es un ejemplo de su trabajo en ecuaciones diferenciales.

George Green

El inglés George Green (1793-1841) hizo aportes a la física matemática, óptica, electricidad y magnetismo. Acuñó el término "potencial" y desarrolló la función de Green, que es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales.

Oliver Heaviside

El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hizo aportes al electromagnetismo y sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera. Desarrolló métodos operacionales para resolver ecuaciones diferenciales.

Charles Hermite

El francés Charles Hermite (1822-1901) estudió la teoría de números, funciones elípticas y álgebra. Los polinomios de Hermite son soluciones de una ecuación diferencial específica.

David Hilbert

El matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hizo aportes al álgebra, ecuaciones integrales y cálculo de variaciones. Propuso muchos problemas importantes, algunos de los cuales aún no tienen solución.

Christian Huygens

Matemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudió vibraciones, óptica y la teoría matemática de ondas.

Johannes Kepler

El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hizo aportes a la geometría, especialmente al encontrar áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario, las cuales se pueden describir con ecuaciones diferenciales.

Edmond Laguerre

El francés Edmond Laguerre (1834-1886) hizo aportes al análisis matemático y funciones analíticas. Los polinomios de Laguerre son soluciones de una ecuación diferencial.

Pierre de Laplace

El francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hizo aportes a la mecánica, astronomía y ecuaciones diferenciales parciales. La ecuación de Laplace, descubierta alrededor de 1787, es fundamental en física.

Adrien Legendre

El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hizo aportes en teoría de números, funciones elípticas y astronomía. Las funciones de Legendre son soluciones de una ecuación diferencial importante.

Joseph Liouville

El francés Joseph Liouville (1809-1882) estudió la teoría de números y problemas de Sturm-Liouville, que involucran ecuaciones diferenciales.

Marc Parseval

El francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hizo aportes al análisis matemático, y la identidad de Parseval está relacionada con las series de Fourier, usadas en ecuaciones diferenciales.

Charles Picard

El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hizo aportes a la geometría algebraica y la topología. El método de Picard y sus teoremas de existencia-unicidad son importantes para las ecuaciones diferenciales.

Simeón Poisson

El francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hizo aportes a la electricidad y el magnetismo. La ecuación de Poisson es fundamental en física.

Jacopo Riccati

El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hizo aportes al análisis matemático. La ecuación de Riccati fue resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros.

Bernhard Riemann

El alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX. Hizo contribuciones a la variable compleja, geometría no euclidiana y ecuaciones diferenciales parciales. Su tesis doctoral fue sobre "Bases de una teoría general de funciones de variable compleja".

Olinde Rodríguez

El matemático francés, Olinde Rodríguez (1794-1851) hizo aportes al análisis matemático, y la fórmula de Rodríguez es importante en el estudio de polinomios.

Hermann Schwarz

El alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudió el cálculo de variaciones y teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales. La desigualdad de Schwarz es un resultado importante en matemáticas.

Jacques Sturm

El suizo Jacques Charles François Sturm hizo aportes al álgebra, geometría, mecánica de fluidos y acústica. Los problemas de Sturm-Liouville son un área importante en las ecuaciones diferenciales.

Hoene Wronski

El matemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudió determinantes e introdujo el wronskiano, una herramienta útil en el estudio de ecuaciones diferenciales.

Véase también

• Ecuaciones diferenciales
• Historia de la matemática