Figura de vértice para niños

En geometría, una figura de vértice es como la "huella" o el "corte" que se forma cuando cortas una esquina de una forma 3D, como un poliedro (un objeto con muchas caras planas, como un dado). También se aplica a formas más complejas en dimensiones superiores, llamadas politopos.

¿Qué es una Figura de Vértice?

Figura de vértice a "media arista" de un cubo

Imagina que tienes un poliedro, como un cubo. Elige una de sus esquinas, que en geometría se llama vértice. Si cortas esa esquina de una manera especial, la forma que aparece en la superficie del corte es la figura de vértice.

Cortando la Esquina

Figura de vértice "de arista completa" de un cubo

La forma más común de entender una figura de vértice es imaginar que haces un corte plano que atraviesa todas las líneas (aristas) que se unen en ese vértice. La superficie que se crea con ese corte es la figura de vértice.

Algunos matemáticos cortan cada arista a la misma distancia del vértice. Otros pueden cortar de forma que la figura resultante sea un polígono (una forma plana con lados rectos).

Usando una Esfera

Figura de vértice esférica de un cubo

Otra forma de ver una figura de vértice es imaginar una esfera muy pequeña centrada en el vértice. Esta esfera es tan pequeña que solo toca las aristas y las caras que se unen en ese vértice. La forma que se dibuja en la superficie de la esfera al cortar el poliedro es la figura de vértice. Esta forma es un polígono esférico.

Este método es útil porque la forma de la figura de vértice es siempre la misma, sin importar el tamaño de la esfera. Además, funciona incluso para poliedros que no son "redondos" o convexos.

Conectando Vértices Vecinos

Figura de vértice formada por un grupo de vértices conectados a uno dado de un cubo

También puedes pensar en la figura de vértice como el grupo de todos los vértices que están conectados directamente al vértice que elegiste. Si conectas estos vértices vecinos, obtendrás la figura de vértice.

Propiedades de las Figuras de Vértice

Una figura de vértice de un politopo siempre tiene una dimensión menos que el politopo original. Por ejemplo:

• La figura de vértice de un poliedro (que es 3D) es un polígono (que es 2D).
• La figura de vértice de un polícoro (que es 4D) es un poliedro (que es 3D).

Las figuras de vértice no siempre son planas. A veces, pueden ser formas más complejas. Para poliedros que no son convexos (que tienen "huecos" o "puntas hacia adentro"), la figura de vértice también puede ser no convexa.

Formas Regulares y Uniformes

Las figuras de vértice son muy importantes para entender los politopos uniformes y los politopos regulares. Un politopo uniforme es aquel donde todos sus vértices son iguales.

Para los poliedros con caras regulares (como un cubo o un dodecaedro), la figura de vértice se puede describir con una "configuración de vértices". Esta configuración lista las caras que se encuentran en cada vértice. Por ejemplo, "3.4.4.4" significa que en un vértice se unen un triángulo y tres cuadrados. Esto describe el rombicuboctaedro.

Construcciones de Figuras de Vértice

Desde Vértices Adyacentes

Puedes construir una figura de vértice para cada vértice de un politopo observando cómo se conectan los vértices vecinos:

• Cada vértice de la figura de vértice es un vértice del politopo original.
• Cada arista de la figura de vértice se encuentra en una cara del politopo original.
• Cada cara de la figura de vértice se encuentra en una "celda" del politopo original (para formas de más de 3 dimensiones).

Politopos Regulares

Si un politopo es regular (lo que significa que todas sus caras, aristas y vértices son iguales), se puede describir con un símbolo de Schläfli. Este símbolo nos ayuda a saber cómo son sus caras y sus figuras de vértice.

Por ejemplo, un poliedro regular con símbolo de Schläfli {p,q} tiene caras con forma de polígono de p lados y su figura de vértice es un polígono de q lados.

• La figura de vértice de un cubo {4,3} es un triángulo {3}.
• La figura de vértice de un hipercubo {4,3,3} es un tetraedro regular {3,3}.

Ejemplo de Figura de Vértice de un Panal

Panal cúbico truncado (parcial)

Un panal cúbico truncado es una forma que llena el espacio, como si estuviera hecho de bloques. Su figura de vértice es una pirámide cuadrada que no es uniforme. En cada vértice de este panal, se unen un octaedro y cuatro cubos truncados.

Figura de vértice: Una pirámide cuadrada no uniforme	Diagrama de Schlegel	Perspectiva
creada como un cuadrado base de un octaedro	(3.3.3.3)
y cuatro triángulos isósceles, lados de cubos truncados	(3.8.8)

Figura de Arista

El "panal cúbico truncado" tiene dos tipos de aristas, unas con cuatro cubos truncados y las otras con un octaedro y dos cubos truncados, que pueden verse como dos tipos de figuras de arista, que a su vez son los vértices de la figura de vértice resultante

La figura de arista es un concepto relacionado con la figura de vértice. Es como la figura de vértice de una figura de vértice. Nos ayuda a entender cómo se organizan las caras alrededor de una arista (una línea donde se unen dos caras).

Una figura de arista siempre tiene dos dimensiones menos que el politopo original. Por ejemplo, para un polícoro (4D), la figura de arista es un polígono (2D).

Para los politopos regulares, la figura de arista también es regular. Por ejemplo, la figura de arista de un panal cúbico {4,3,4} es un cuadrado.

Galería de imágenes

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  Figura de vértice a "media arista" de un cubo

• 

  Figura de vértice "de arista completa" de un cubo

• 

  Figura de vértice esférica de un cubo

• 

  Figura de vértice formada por un grupo de vértices conectados a uno dado de un cubo

• 

  La figura de vértice del gran icosaedro es un pentagrama regular o polígono estrellado {5/2}

• 

  Panal cúbico truncado (parcial)

• 

  Diagrama de Schlegel de la figura de vértice del panal cúbico truncado

• 

  Perspectiva de la figura de vértice del panal cúbico truncado

• 

  Figura de vértice de un octaedro (3.3.3.3)

• 

  Figura de vértice de un cubo truncado (3.8.8)

Véase también

En inglés: Vertex figure Facts for Kids