Factoriales descendente y ascendente para niños
El factorial descendente y el factorial ascendente son operaciones matemáticas especiales que se usan para multiplicar números de una forma particular. Imagina que tienes un número y quieres multiplicarlo por otros números que van disminuyendo o aumentando de forma consecutiva. Para eso sirven estos factoriales.
El factorial descendente se escribe como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_n o Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{\underline{n}} . Significa que multiplicas un número x por los números que le siguen hacia abajo, restando 1 cada vez, hasta que tengas n factores. Por ejemplo, si x es 5 y n es 3, el factorial descendente sería:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (5)_3 = 5 \times (5-1) \times (5-2) = 5 \times 4 \times 3 = 60
El factorial ascendente se escribe como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(n)} o Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{\overline{n}} . Significa que multiplicas un número x por los números que le siguen hacia arriba, sumando 1 cada vez, hasta que tengas n factores. Por ejemplo, si x es 5 y n es 3, el factorial ascendente sería:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 5^{(3)} = 5 \times (5+1) \times (5+2) = 5 \times 6 \times 7 = 210
Cuando n es 0, el valor de ambos factoriales es 1. Esto se conoce como un "producto vacío".
El símbolo de Pochhammer fue introducido por el matemático Leo August Pochhammer. Es la notación Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (''x'')<sub>''n''</sub> . A veces se usa para el factorial ascendente y otras para el descendente, así que es importante fijarse en el contexto. En este artículo, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (''x'')<sub>''n''</sub> se usa para el factorial descendente y Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(n)} para el ascendente. Estas formas son comunes en la combinatoria, que es una rama de las matemáticas que estudia cómo contar y organizar cosas.
Cuando x es un número entero positivo, el factorial descendente Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_n nos dice cuántas maneras hay de ordenar n elementos de un grupo de x elementos. Por ejemplo, si tienes 5 amigos y quieres elegir 3 para sentarlos en 3 sillas diferentes, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (5)_3 te daría el número de formas de hacerlo.
Contenido
Ejemplos de Factoriales
Para entender mejor, veamos algunos ejemplos con la variable x:
Ejemplos de Factorial Ascendente
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(0)}=1 (cuando n es 0, el resultado siempre es 1)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(1)}=x (cuando n es 1, solo hay un factor, que es x)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(2)}=x(x+1)=x^2+x
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(4)}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x
Ejemplos de Factorial Descendente
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_0=1 (cuando n es 0, el resultado siempre es 1)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_1=x (cuando n es 1, solo hay un factor, que es x)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_2=x(x-1)=x^2-x
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_3=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (x)_4=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x
Los números que aparecen en estas expresiones (como el 3 y el 2 en Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^3+3x^2+2x ) se llaman números de Stirling de primera especie.
Propiedades Importantes
Los factoriales ascendentes y descendentes tienen algunas propiedades interesantes que los conectan con otras áreas de las matemáticas.
Relación con Coeficientes Binomiales
Estos factoriales se pueden usar para escribir los coeficientes binomiales, que son números que aparecen en el Triángulo de Pascal y se usan para contar combinaciones.
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n}
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}
Esto significa que muchas reglas que se aplican a los coeficientes binomiales también se aplican a los factoriales.
Conexión entre Factoriales Ascendentes y Descendentes
Un factorial ascendente se puede escribir como un factorial descendente, y viceversa:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(n)} = (x + n - 1)_n
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{(n)} = (-1)^n (-x)_n
Estos factoriales se pueden usar con diferentes tipos de números, como números complejos o incluso polinomios.
Notaciones Alternativas
Existen otras formas de escribir estos factoriales. Para el factorial ascendente, a veces se usa Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{\overline{m}} . Para el factorial descendente, a veces se usa Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x^{\underline{m}} . También se usan otras notaciones para el factorial descendente, como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(x, n) o Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): _xP_n , que son comunes cuando se habla de permutaciones.
Generalizaciones
El símbolo de Pochhammer tiene versiones más generales que se usan en matemáticas avanzadas. También existe una versión llamada "símbolo q-Pochhammer".
Una forma más general de los factoriales es cuando la multiplicación no es solo de números que disminuyen o aumentan de 1 en 1, sino que cambian por un valor diferente, por ejemplo, de 2 en 2 o de 3 en 3.
Véase también
En inglés: Falling and rising factorials Facts for Kids
- Identidad de Vandermonde
