Intersección de conjuntos para Niños

La intersección de

A

B

es otro conjunto

A \cap B

que contiene sólo los elementos que pertenecen tanto a

A

como a

B

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares $P$ y el conjunto de los cuadrados $C$ de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares.

P = \{2, 4, 6, 8 ,10, \ldots \}

C = \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots \}

D = \{4, 16, 36, 64, \ldots \}

En otras palabras: Cómo, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A $\cap$ B = { a, e}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo $\cap$ por lo que $D = P \cap C$ .

Definición

Intersección de dos conjuntos

A

B

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , su intersección es otro subconjunto cuyos elementos, necesariamente, pertenecen a ambos conjunto. $A Plantilla:= {π, c, 8, γ, 5, P}$ y $B Plantilla:= {ω, c, 0, Δ, 5, R}$ . Entonces la intersección es $A \cap B Plantilla:= {5, c}$ .

Sean los conjuntos de números naturales $C Plantilla:= {n : n es una potencia de 2}$ y $D Plantilla:= {n : n es un cubo}$ . Su intersección es $C \cap D Plantilla:= {n : n es una potencia de 2 y un cubo} Plantilla:= {n : n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} Plantilla:= {8, 64, 512, ...}$ .

Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos $A$ y $B$ se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

$A\cap B=\varnothing$

Generalizaciones

La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

$A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n=A_1\cap(A_2\cap(\ldots(A_{n-1}\cap A_n){\scriptstyle \ldots})$

La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

Sea $M$ una familia de conjuntos. Su intersección $\cap M$ se define como:

$x\in\bigcap M\text{ si para cada }A\in M\text{ se tiene que }x\in A$

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:

A \cap B = \cap M

, donde

M Plantilla:= {A, B}

A 1 \cap ... \cap A n = \cap M

, donde

M Plantilla:= {A 1, ..., A n}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:v

$\bigcap M=\bigcap_{A\in M}A=\bigcap_{i\in I}A_i\text{ ,}$

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo $M$ como ${A i : i \in I}$ .

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

Idempotencia. La intersección de un conjunto $A$ consigo mismo es el propio $A$ :

$A \cap A = A$

La intersección de $A$ y $B$ es un subconjunto de ambos:

$A \cap B \subseteq A, B$

La intersección de un conjunto $B$ con un conjunto $A$ que lo contenga, deja a $B$ inalterado:

$B \subseteq A \rightarrow A \cap B = B$

La intersección de conjuntos poseen también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos $A$ y $B \cap C$ es igual a la intersección de los conjuntos $A \cap B y C$ :

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos $A$ y $B$ es igual a la intersección de los conjuntos $B$ y $A$ :

$A \cap B = B \cap A$

Elemento absorbente. La intersección de un conjunto $A$ con el conjunto vacío $\emptyset$ es $\emptyset$ :

$A \cap \varnothing = \varnothing$

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ , y por tanto:

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , y por tanto:

$A \cap (A \cup B) = A$

Se cumple que ∅ ⊂ A∩B∩C ⊂ A∩B ⊂ A ⊂ A∪B ⊂ A∪B∪C ⊂ Ω donde Ω es el conjunto universal.

Teoría axiomática

En las [[teoría axiomática de conjuntos|teorías axiomáticas de conjunto

Véase también

Literatura del tema

Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.
Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Yu. M. Korshunov. Fundamentos matemáticos de la cibernética. Editorial Mir, Moscú s/f.

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