Unión de conjuntos para Niños

La unión de los conjuntos

A

B

es otro conjunto

A \cup B

que contiene todos los elementos de

A

y de

B

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos $P$ y el conjunto de los números impares positivos $I$ :

P = \{ 2, 4, 6, \ldots \}

I = \{ 1, 3, 5, \ldots \}

\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \}

La unión de conjuntos se denota por el símbolo $\cup$ , de modo que por ejemplo:

\mathbb{N} = P \cup I

Definición

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , su unión es el conjunto que contiene todos los elementos, que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos $A$ o $B$ :

La unión de dos conjuntos $A$ y $B$ es otro conjunto $A \cup B$ cuyos elementos son todos los elementos de $A$ y/o de $B$ :

$x \in A \cup B \text{ cuando } x \in A \text{ o } x \in B \text{ (o en sentido inclusivo)}$

Unión de dos conjuntos

A

B

Ejemplo.

Considerando los conjuntos de números naturales $C Plantilla:= {n : n es un número primo}$ y $D Plantilla:= {m : m es un número compuesto}$ . Su unión es entonces , ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:

\{ 1, 2, 3, 4 \} \cup \{ 5, 2, 1 \} = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}

Generalizaciones

Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:

La unión de una colección finita de conjuntos $A 1$ , ..., $A n$ es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dicha colección:

$A_1\cup\ldots\cup A_n=\{x:x\in A_k\text{ donde }1\leq k\leq n\}$

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

$A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=A_1\cup(A_2\cup(\ldots(A_{n-1}\cup A_n){\scriptstyle \ldots}))$

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:

Sea $M$ una familia de conjuntos. Su unión $\cup M$ se define como:

$x\in\bigcup M\text{ cuando }x\in A\text{ para alg}\acute\text{u}\text{n }A\in M$

Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:

A \cup B = \cup M

, donde

M Plantilla:= {A, B}

A 1 \cup ... \cup A n = \cup M

, donde

M Plantilla:= {A 1, ..., A n}

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

$\bigcup M=\bigcup_{A\in M}A=\bigcup_{i\in I}A_i\text{ ,}$

donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando $M$ como ${A i : i \in I}$ .

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

De la definición de unión puede deducirse directamente:

Idempotencia. La unión de un conjunto $A$ consigo mismo es el propio $A$ :

$A \cup A = A$

Tanto $A$ como $B$ son subconjuntos de su unión:

$A, B \subseteq A \cup B$

La unión de un conjunto $A$ con un subconjunto suyo $B$ lo deja inalterado:

$B \subseteq A \rightarrow A \cup B = A$

La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos $A$ y $B \cup C$ es igual que la unión de los conjuntos $A \cup B$ y $C$ :

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos $A$ y $B$ es igual a la unión de los conjuntos $B$ y $A$ :

$A \cup B = B \cup A$

Elemento neutro. La unión de un conjunto $A$ con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto $A$ :

$A \cup \varnothing = A$

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.

En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ , y por tanto:

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , y por tanto:

$A \cap (A \cup B) = A$

Cardinalidad

Artículos principales: Principio de la suma y Principio de inclusión-exclusión.

El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos $A$ y $B$ es la suma de los elementos de $A$ y de $B$ , si no tienen elementos en común.

Si $A$ y $B$ son finitos y disjuntos:

$|A \cup B| = |A| + |B|$

Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si $A$ y $B$ tienen elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo:

{1, a, ♠} y {b, a, 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a, ♠, b, 5} tiene cinco elementos y no seis.

Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de $A \cup B$ :

Dados dos conjuntos finitos $A$ y $B$ :

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión de un número arbitrario de conjuntos finitos. Por ejemplo en el caso de tres conjuntos se tiene:

|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|

y en general se tiene el llamado principio de inclusión-exclusión:

Dada una colección finita de conjuntos $A 1$ , ..., $A n$ :

$|A_1 \cup \ldots \cup A_n| = \sum_{i = 1}^n |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ \ldots\ +(-1)^{n-1} |A_1 \cap \ldots \cap A_n|$

En el caso de que alguno de los conjuntos involucrados sea infinito, las expresiones anteriores siguen siendo válidas, entendiéndolas como afirmaciones relativas a cardinales infinitos (con ciertas modificaciones).

Axioma de la unión

Artículo principal: Axioma de unión

En teoría axiomática de conjuntos no puede demostrarse la existencia de la unión de conjuntos a partir de propiedades más básicas. Es por ello que se postula la existencia de la unión, añadiendo como axioma el llamado axioma de unión.

Véase también

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