Teoría de anillos para niños

La teoría de anillos es una parte de las matemáticas que estudia los anillos. Los anillos son estructuras especiales donde podemos sumar y multiplicar números, de forma parecida a como lo hacemos con los números enteros. Esta teoría explora cómo están hechos los anillos, cómo se pueden representar (a través de algo llamado módulos), y qué propiedades interesantes tienen.

Existen dos tipos principales de anillos: los anillos conmutativos y los anillos no conmutativos. Los anillos conmutativos son más fáciles de entender. La geometría algebraica y la teoría de números algebraicos nos dan muchos ejemplos de anillos conmutativos. Por eso, el estudio de los anillos conmutativos, conocido como álgebra conmutativa, es muy importante en las matemáticas modernas. Estos tres campos están muy relacionados, y a veces es difícil saber a cuál pertenece un descubrimiento. Por ejemplo, el teorema de los ceros de Hilbert es clave para la geometría algebraica, pero se explica usando el álgebra conmutativa.

Los anillos no conmutativos son diferentes y pueden tener comportamientos más inesperados. Aunque se han desarrollado por sí mismos, recientemente se ha intentado estudiarlos de una manera similar a los conmutativos, como si fueran funciones en "espacios no conmutativos" que no existen realmente. Esta idea surgió en los años 80 con la geometría no conmutativa y los grupos cuánticos, lo que ha ayudado a entender mejor estos anillos, especialmente los anillos noetherianos.

Para entender qué es un anillo y sus conceptos básicos, puedes consultar el artículo sobre anillo (matemática). También hay un glosario con los términos usados en esta teoría.

Anillos conmutativos: ¿Qué son y cómo funcionan?

Un anillo es conmutativo si el orden de la multiplicación no cambia el resultado (por ejemplo, 2 x 3 es lo mismo que 3 x 2). Los anillos conmutativos se parecen a los sistemas de números que ya conocemos, y muchas de sus definiciones buscan imitar las propiedades de los números enteros. También son muy importantes en la geometría algebraica.

En la teoría de anillos conmutativos, a menudo los números se reemplazan por ideales. La definición de un ideal primo busca capturar la idea de los números primos. Los dominios de integridad son anillos conmutativos especiales donde si multiplicas dos elementos que no son cero, el resultado tampoco es cero. Esto es como los enteros y es útil para estudiar la divisibilidad.

Los dominios de ideales principales son dominios de integridad donde cada ideal se puede crear a partir de un solo elemento. Los dominios euclidianos son dominios de integridad donde se puede usar el algoritmo euclidiano (como el que usamos para encontrar el máximo común divisor).

Podemos construir ejemplos importantes de anillos conmutativos usando polinomios. La relación entre estos tipos de anillos es así: dominio euclidiano => dominio ideal principal => dominio de factorización única => dominio de integridad => anillo conmutativo.

Geometría algebraica: El espejo del álgebra conmutativa

La geometría algebraica es como el reflejo del álgebra conmutativa. Esta conexión empezó con el Teorema de los ceros de Hilbert, que relaciona los puntos de una variedad algebraica con los ideales máximos de su anillo de coordenadas. Esta idea se ha expandido para traducir propiedades geométricas de las variedades algebraicas a propiedades algebraicas de los anillos conmutativos.

Alexander Grothendieck llevó esto más allá al introducir los esquemas, que son una forma más general de variedades algebraicas y se pueden construir a partir de cualquier anillo conmutativo. En pocas palabras, el espectro de un anillo conmutativo es un espacio de sus ideales primos, que se usa para construir estos esquemas.

Anillos no conmutativos: ¿En qué se diferencian?

Los anillos no conmutativos se parecen mucho a los anillos de matrices. Inspirándose en la geometría algebraica, se ha intentado crear "geometrías no conmutativas" basadas en estos anillos.

Los anillos no conmutativos y las álgebras asociativas (que son anillos que también son espacios vectoriales) a menudo se estudian a través de sus categorías de módulos. Un módulo sobre un anillo es un grupo especial donde el anillo actúa de forma similar a como los cuerpos actúan sobre los espacios vectoriales.

Ejemplos de anillos no conmutativos incluyen los anillos de matrices cuadradas, los anillos de endomorfismos (transformaciones) de grupos abelianos o módulos, y los anillos monoidales.

Teoría de representación: Visualizando estructuras abstractas

La teoría de la representación es una parte de las matemáticas que usa mucho los anillos no conmutativos. Esta teoría estudia estructuras algebraicas abstractas al representarlas como transformaciones lineales en espacios vectoriales.

Básicamente, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más fácil de entender al describir sus elementos con matrices y sus operaciones con la suma y multiplicación de matrices, que no es conmutativa. Algunos objetos algebraicos que se pueden describir así son los grupos, las álgebras asociativas y las álgebras de Lie. La más conocida es la teoría de representación de grupos, donde los elementos de un grupo se representan con matrices invertibles.

Estructuras y propiedades de los anillos

Dimensión de un anillo conmutativo

Para un anillo conmutativo R, la dimensión de Krull es una medida de su "tamaño" o complejidad. Se calcula sumando las longitudes de ciertas cadenas de ideales primos. Por ejemplo, un anillo de polinomios con n variables tiene una dimensión de n.

Existen otras formas de medir la dimensión de un anillo, y para ciertos anillos especiales, estas medidas coinciden. Un anillo conmutativo R se llama catenario si todas las cadenas máximas de ideales primos entre dos ideales dados tienen la misma longitud. La mayoría de los anillos que se usan en la práctica son catenarios.

Si R es un dominio de integridad que se forma a partir de un número finito de elementos, su dimensión está relacionada con el grado de trascendencia de su campo de fracciones.

Otros conceptos relacionados son la profundidad y la dimensión global. Si un anillo local noetheriano tiene su profundidad igual a su dimensión, se le llama anillo de Cohen-Macaulay. Un anillo local regular es un ejemplo de anillo de Cohen-Macaulay.

Equivalencia de Morita: Anillos que se comportan igual

Se dice que dos anillos R y S son equivalentes de Morita si sus categorías de módulos izquierdos son equivalentes. Esto significa que, aunque los anillos sean diferentes, sus módulos se comportan de la misma manera.

Para los anillos conmutativos, si son equivalentes de Morita, en realidad son el mismo anillo (isomorfos). Sin embargo, un anillo conmutativo puede ser equivalente de Morita a un anillo no conmutativo. La equivalencia de Morita es muy importante en la topología algebraica y el análisis funcional.

Módulos proyectivos y el grupo de Picard

Para un anillo conmutativo R, podemos estudiar los módulos proyectivos generados de forma finita. El conjunto de clases de isomorfismo de estos módulos forma un grupo abeliano llamado grupo de Picard de R, denotado como Pic(R).

Por ejemplo, si R es un dominio de ideales principales, entonces Pic(R) es trivial. En la teoría algebraica de números, si R es un anillo de enteros, Pic(R) es un grupo finito llamado Grupo de clases de ideales que nos dice qué tan lejos está el anillo de enteros de ser un dominio de ideales principales.

También podemos construir un anillo conmutativo K₀(R) a partir de los módulos proyectivos. Si dos anillos conmutativos son equivalentes de Morita, sus K₀(R) son iguales.

Estructura de los anillos no conmutativos

La estructura de un anillo no conmutativo es más compleja que la de uno conmutativo. Por ejemplo, un anillo simple (que no tiene ideales propios de dos lados) puede tener ideales propios a la izquierda o a la derecha. Es más difícil encontrar propiedades que sean "invariantes" (que no cambien) en los anillos no conmutativos.

El nilradical de un anillo, que es el conjunto de todos los elementos que se vuelven cero al multiplicarse por sí mismos varias veces, no siempre es un ideal en anillos no conmutativos. Sin embargo, existen conceptos similares para anillos no conmutativos que coinciden con el nilradical cuando el anillo es conmutativo.

Un ejemplo es el radical de Jacobson de un anillo, que es la intersección de ciertos anuladores de módulos. Esto nos muestra cómo la estructura interna del anillo se refleja en sus módulos. Es interesante que la intersección de todos los ideales máximos derechos de un anillo es la misma que la intersección de todos los ideales máximos izquierdos, sin importar si el anillo es conmutativo.

Los anillos no conmutativos son un área de investigación muy activa porque aparecen en muchas partes de las matemáticas. Por ejemplo, el anillo de matrices de n por n sobre un campo es no conmutativo, y se usa en geometría, física y otras áreas. En general, los anillos de endomorfismos de grupos abelianos rara vez son conmutativos.

Uno de los anillos no conmutativos más conocidos son los cuaterniones.

Véase también

En inglés: Ring theory Facts for Kids

• Teoría de grupos
• Cuerpo (matemáticas)
• Geometría no conmutativa
• Álgebra conmutativa
• Teoría de representación