Anillo conmutativo para niños

Un anillo conmutativo es un tipo especial de estructura matemática que se estudia en una parte de las matemáticas llamada álgebra abstracta. Imagina que tienes un conjunto de números o elementos, y puedes hacer dos operaciones con ellos, como sumar y multiplicar.

Lo que hace que un anillo sea "conmutativo" es que la operación de multiplicación funciona de una manera muy familiar: el orden de los elementos no cambia el resultado. Es decir, si tomas dos elementos, digamos a y b, y los multiplicas, el resultado de a multiplicado por b es el mismo que el de b multiplicado por a. Esto es como cuando multiplicas números normales: 2 x 3 es igual a 3 x 2.

Si además este anillo tiene un elemento especial llamado "uno" (como el número 1), que al multiplicarlo por cualquier otro elemento no lo cambia, entonces se le llama Anillo unitario conmutativo.

La parte de las matemáticas que se dedica a estudiar estos anillos conmutativos se llama álgebra conmutativa. También existe el álgebra no conmutativa, que estudia anillos donde el orden de la multiplicación sí importa.

Estructura algebraica con dos leyes de composición internas.

¿Qué es un Anillo Conmutativo?

Para entender un anillo conmutativo, primero necesitamos saber qué es un "anillo".

Definición de Anillo

Un anillo es un grupo de elementos (como números) que tiene dos operaciones principales. A estas operaciones las llamamos "suma" (representada por +) y "multiplicación" (representada por ·). Por ejemplo, si tienes elementos a y b, puedes hacer a + b y a · b.

Para que este grupo de elementos sea un anillo, estas dos operaciones deben seguir algunas reglas:

• La suma debe ser como la suma normal: puedes sumar en cualquier orden y agrupar como quieras. También debe haber un "cero" que no cambia los elementos al sumarlo.
• La multiplicación también tiene reglas, y lo más importante es que la multiplicación se "distribuye" sobre la suma. Esto significa que a · (b + c) es igual a (a · b) + (a · c).

La Propiedad Conmutativa

Un anillo se llama conmutativo si su operación de multiplicación cumple con esta regla:

• Para cualquier par de elementos a y b en el anillo, el resultado de a · b es siempre el mismo que el de b · a.

En este artículo, cuando hablemos de "anillos", nos referiremos a anillos conmutativos, a menos que digamos lo contrario.

Conceptos Importantes en Anillos Conmutativos

En los anillos conmutativos, hay ideas interesantes sobre cómo se relacionan los elementos.

Divisibilidad y Elementos Especiales

A diferencia de los "campos" (donde casi todos los elementos tienen un inverso para la multiplicación, como 1/2 para 2), en los anillos, la idea de dividir es más compleja.

• Un elemento a en un anillo se llama una unidad si tiene un inverso multiplicativo. Por ejemplo, en los números enteros, 1 y -1 son unidades porque 1x1=1 y (-1)x(-1)=1.
• Un divisor de cero es un elemento a que, al multiplicarlo por otro elemento b que no es cero, da como resultado cero (a · b = 0). Por ejemplo, en el anillo de los números enteros módulo 6, 2 es un divisor de cero porque 2 · 3 = 6, y 6 es lo mismo que 0 en este anillo.
• Si un anillo no tiene divisores de cero (excepto el propio cero), se le llama dominio de integridad.
• Un elemento nilpotente es un elemento a que, si lo multiplicas por sí mismo varias veces (a elevado a alguna potencia), el resultado es cero.

Localizaciones de Anillos

La localización de un anillo es un proceso para hacer que algunos elementos tengan un inverso multiplicativo. Es como crear fracciones a partir de los elementos del anillo. Por ejemplo, los números racionales (fracciones) se pueden ver como la localización de los números enteros.

Ideales y Módulos

En los anillos conmutativos, los conceptos de "ideales" y "módulos" son muy importantes.

• Un módulo es como un espacio vectorial (un conjunto de elementos que se pueden sumar y multiplicar por números), pero en lugar de multiplicar por números de un campo, se multiplican por elementos de un anillo.
• Los ideales son un tipo especial de subconjuntos dentro de un anillo. Son como "sub-anillos" que tienen propiedades adicionales relacionadas con la multiplicación. Por ejemplo, si tienes un ideal I, y tomas cualquier elemento r del anillo y cualquier elemento i del ideal, el producto r · i también estará en el ideal.

Ideales Principales

Un ideal principal es un ideal que se puede generar a partir de un solo elemento. Por ejemplo, en los números enteros, el conjunto de todos los múltiplos de 2 (..., -4, -2, 0, 2, 4, ...) es un ideal principal generado por el número 2.

Si todos los ideales de un anillo son ideales principales, el anillo se llama anillo ideal principal. Ejemplos importantes son los números enteros y los polinomios con coeficientes en un campo.

Un dominio de factorización única (UFD) es un tipo de anillo donde cada elemento se puede descomponer de forma única en un producto de elementos "irreducibles" (como los números primos en los enteros). El teorema fundamental de la aritmética dice que los números enteros son un UFD.

El Anillo de Factores

Podemos "dividir" un anillo por un ideal para crear un nuevo anillo llamado anillo factorial o anillo cociente. Por ejemplo, el anillo de los enteros módulo n (como los números en un reloj, donde 13 es lo mismo que 1) es un anillo factorial.

Un ideal se llama maximal si no está contenido en ningún otro ideal propio más grande. Si divides un anillo por un ideal maximal, el resultado es un campo (un tipo de anillo donde todos los elementos, excepto el cero, tienen un inverso multiplicativo).

Ejemplos de Anillos Conmutativos

Aquí tienes algunos ejemplos de anillos conmutativos que quizás ya conozcas:

• Los números enteros (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) con la suma y multiplicación usuales. Se representan con el símbolo Z.
• Los números racionales (fracciones), los números reales y los números complejos también forman anillos conmutativos. De hecho, son ejemplos de "campos", que son un tipo especial de anillo conmutativo.
• En general, cualquier campo es un anillo conmutativo por definición.
• Si n es un número entero mayor que 0, el conjunto de los enteros módulo n (Z_n) forma un anillo conmutativo con n elementos.
• Si R es un anillo conmutativo, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en R también forma un nuevo anillo conmutativo.

Ejemplo de Anillo No Conmutativo

Para entender mejor los anillos conmutativos, veamos un ejemplo de uno que no es conmutativo. El conjunto de las matrices cuadradas de 2x2 con números reales no es conmutativo. Esto significa que si multiplicas dos matrices, el resultado puede cambiar si inviertes el orden de la multiplicación.

Por ejemplo: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} Pero si cambias el orden: Como puedes ver, los resultados son diferentes.

Propiedades de los Anillos Conmutativos

• Si tienes una función que "conecta" dos anillos (llamada homomorfismo de anillos) y el segundo anillo es conmutativo, y la función es "inyectiva" (cada elemento del primer anillo se conecta a un elemento único del segundo), entonces el primer anillo también debe ser conmutativo.
• Si el primer anillo es conmutativo, la "imagen" (los elementos del segundo anillo a los que se conectan los del primero) también será conmutativa. Si la función es "sobreyectiva" (todos los elementos del segundo anillo están conectados a alguno del primero), entonces el segundo anillo también será conmutativo.

El mayor interés en los anillos conmutativos se da cuando además tienen un elemento "uno", es decir, son anillos conmutativos unitarios.

Galería de imágenes

• 

  Estructura algebraica con dos leyes de composición internas.