Teoría de números algebraicos para niños
La teoría de números algebraicos es una parte de las matemáticas que estudia los números de una manera especial. En lugar de solo trabajar con números enteros (como 1, 2, 3) o números racionales (como 1/2, 3/4), esta teoría explora los números algebraicos.
¿Qué son los números algebraicos? Son números que se obtienen como soluciones de ecuaciones de polinomios. Imagina una ecuación como x² - 2 = 0. La solución es x = √2. Este número, √2, es un número algebraico porque es la raíz de un polinomio con coeficientes racionales (en este caso, 1 y -2).
Un "campo de números algebraico" es como una familia o un conjunto de estos números algebraicos. Es una extensión de los números racionales. Dentro de esta familia, existe un "anillo de enteros", que son los números algebraicos que se comportan como los números enteros normales.
Aunque estos conjuntos de números se parecen a los números racionales y enteros, no son exactamente iguales. Una diferencia importante es que la factorización única no siempre funciona. Esto significa que un número en estos sistemas podría descomponerse en "piezas" de diferentes maneras, a diferencia de los números enteros donde, por ejemplo, el 6 siempre es 2x3 y no hay otra forma de descomponerlo en números primos. Para solucionar esto, se usa la teoría de ideales.
Los campos de números algebraicos, junto con otros tipos de campos, se llaman "campos globales". Gran parte de esta teoría se puede aplicar de forma similar a diferentes tipos de números. La "localización" es como hacer un zoom en una parte específica de estos campos para entender mejor cómo se comportan los números allí.
Contenido
Historia de la teoría de números algebraicos
Diofanto y las ecuaciones antiguas
Los orígenes de la teoría de números algebraicos se encuentran en las ecuaciones de Diofanto, un matemático de la antigua Alejandría que vivió en el siglo III. Él estudió y desarrolló métodos para resolver ecuaciones donde solo se buscan soluciones con números enteros.
Un ejemplo clásico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados sean iguales a dos números dados, A y B:
- A = x + y
- B = x² + y²
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado por miles de años. Por ejemplo, las soluciones para la ecuación x² + y² = z² son las famosas ternas pitagóricas (como 3, 4, 5, donde 3² + 4² = 5²), que ya eran conocidas por los babilonios hace mucho tiempo. Las soluciones para ecuaciones diofánticas más simples, como 26x + 65y = 13, se pueden encontrar usando el algoritmo de Euclides.
La obra más importante de Diofanto fue la Arithmetica, de la cual solo se conserva una parte.
Fermat y su famoso teorema
El último teorema de Fermat fue propuesto por primera vez por Pierre de Fermat en 1637. Él escribió en el margen de un libro que tenía una prueba, pero que era demasiado larga para caber allí. Nadie pudo encontrar una prueba exitosa hasta 1995, a pesar de los esfuerzos de muchísimos matemáticos durante 358 años. Este problema sin resolver impulsó mucho el desarrollo de la teoría algebraica de los números en el siglo XIX y el siglo XX.
Gauss y sus investigaciones
Una de las obras más importantes en la teoría algebraica de los números es Disquisitiones Arithmeticae (que significa "Investigaciones Aritméticas" en latín). Fue escrita por Carl Friedrich Gauss en 1798, cuando tenía 21 años, y publicada en 1801. En este libro, Gauss reunió los descubrimientos de matemáticos anteriores como Fermat y Euler, y añadió muchos resultados nuevos e importantes.
Antes de este libro, la teoría de los números era una colección de ideas y problemas sueltos. Gauss organizó todo de manera sistemática, corrigió pruebas y amplió el tema de muchas maneras. Su trabajo fue el punto de partida para otros matemáticos europeos del siglo XIX.
Dirichlet y sus contribuciones
En 1838 y 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró una fórmula importante para entender la estructura de ciertos números. Esta fórmula fue muy elogiada por otros matemáticos. Basándose en sus investigaciones, también demostró el teorema de las unidades de Dirichlet, un resultado fundamental en la teoría algebraica de números.
Dirichlet también usó el "principio del casillero" (o principio de las cajas), una idea simple de conteo, para probar un teorema sobre la aproximación de números. También hizo contribuciones importantes al último teorema de Fermat, demostrando algunos casos específicos.
Nociones básicas
Cuando la factorización única no funciona
Una propiedad muy conocida de los números enteros es que cada número (positivo) se puede descomponer de forma única en un producto de números primos. Por ejemplo, el 12 siempre es 2 x 2 x 3. Esto se llama el teorema fundamental de la aritmética.
Sin embargo, esta propiedad no siempre se cumple en el "anillo de enteros" de un campo de números algebraico.
Un "elemento primo" es un número p que, si divide un producto ab, entonces debe dividir a a o a b. En los números enteros, los números primos (como 2, 3, 5) cumplen esto. Pero en otros sistemas, puede haber diferencias. Por ejemplo, en los enteros gaussianos (números de la forma a + bi, donde a y b son enteros), el número 5 se puede factorizar de dos maneras diferentes:
- 5 = (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 + i)(2 - i)
Aquí, (1 + 2i), (1 - 2i), (2 + i) y (2 - i) son "elementos irreducibles" (no se pueden descomponer más), pero la factorización no es única en el sentido tradicional. Esto significa que la idea de factorización única debe ser más flexible en estos nuevos sistemas.
Factorización en ideales primos
Aunque los números individuales no siempre se factorizan de forma única, hay una solución. Si consideramos los "ideales" (que son conjuntos especiales de números dentro de estos sistemas), siempre hay una factorización única de estos ideales en "ideales primos". Un ideal primo es como un "bloque de construcción" fundamental para los ideales.
Esta idea de factorizar ideales en ideales primos fue desarrollada por matemáticos como Ernst Kummer y Richard Dedekind. Es una forma de restaurar la idea de factorización única en un sentido más amplio.
Un ideal que es primo en un anillo de enteros puede dejar de serlo cuando se extiende a un campo numérico más grande. Por ejemplo, el ideal generado por el número primo 2 en los enteros (2Z) se puede extender a los enteros gaussianos. Allí, 2 se factoriza como (1 + i)(1 - i), lo que significa que el ideal (2Z[i]) ya no es primo, sino que se descompone en ideales primos más pequeños.
El grupo de clase ideal
La falta de factorización única ocurre cuando hay ideales primos que no pueden ser generados por un solo elemento. Para medir "cuánto" falla la factorización única, se usa algo llamado el grupo de clase ideal.
Este grupo se forma a partir de los "ideales fraccionarios", que son una generalización de los ideales. Los ideales fraccionarios no nulos forman un grupo bajo la multiplicación. El grupo de clase ideal es el resultado de dividir este grupo por los ideales fraccionarios "principales" (los que sí son generados por un solo elemento).
El número de elementos en el grupo de clase ideal se llama número de clase. Si el número de clase es 1, significa que la factorización única sí funciona en ese sistema. Si es mayor que 1, nos dice cuántas "clases" diferentes de ideales no principales existen, lo que indica el grado en que la factorización única falla. Por ejemplo, el número de clase de Q(√-5) es 2, lo que significa que hay dos tipos de ideales: los que se comportan "bien" (principales) y los que no.
El grupo de clase ideal también se puede entender a través de los "divisores", que son objetos formales que representan las posibles factorizaciones de los números.
Véase también
En inglés: Algebraic number theory Facts for Kids
