Seno (trigonometría) para Niños

Datos para niños Seno
Gráfica de Seno
Definición	sen (x)
Dominio	$\mathbb{R}$
Imagen	[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada	cos x
Función primitiva	-cos x + c
Función inversa	arcsen x

En matemática, el seno es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también funciones circulares; es una función real cuyo dominio es $\mathbb{R}$ (el conjunto de los números reales) y cuyo codominio es el intervalo cerrado $[-1,1]$ :

\begin{array}{rrcl} \sen : & \mathbb{R} & \longrightarrow & [-1,1] \\ & x & \longmapsto & \sen(x) \end{array}

se denota $f(x) = \sen (x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . El nombre se abrevia como sen en la forma española y sin en las formas inglesa y latina.

Etimología

El astrónomo y matemático indio Aria Bhatta (476–550 e.c.) estudió el concepto de «seno» con el nombre sánscrito de ardhá-jya, siendo अर्ध ardha: «mitad, medio», y ज्या jya: «cuerda»). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término como جِيبَ jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir «bahía», «cavidad» o «seno»).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía, seno’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».

Según otra explicación, la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscriptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Definición

El seno de α es la razón

\tfrac{a}{c} =\tfrac{BC}{AB}

En trigonometría, el seno de un ángulo $\alpha\,$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:

\sen \alpha=\frac{a}{c} =\frac{BC}{AB}

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo $\alpha.$

Si $B$ pertenece a la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia de radio uno con $O=A$ se tiene:

\sen \alpha=a=BC \,

Ya que $c=AB=1$ .

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos agudos (no obtusos) y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector $\vec{AB}$ mediante su descomposición en los vectores ortogonales $\vec{AC}$ y $\vec{CB}$ .

Relaciones trigonométricas

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

El seno es una función impar, es decir:

\sen \; (-x) = -\sen (x)

El seno es una función periódica de periodo $2\pi$ ,

$\sen \; \alpha=\;\;\;\sen \; ( \alpha + 2 k \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}$
Por inducción ya que aplicando un número par de veces $\sen \; \alpha=-\sen (\alpha + \pi)$ se llega a todos los valores de k.

En función del coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada $\frac{\pi}{2}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

\sen \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right)

Como $\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ , despejando sen α se obtiene:

| \sen \alpha | = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

En función de la tangente

\sen \alpha = \cfrac{\sen \alpha}{1} \cdot \cfrac{\cfrac{1}{\cos\alpha}}{\cfrac{1}{\cos\alpha}} = \cfrac {\cfrac {\sen \alpha}{\cos \alpha}}{\cfrac {1}{\cos \alpha}} = \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha}

Como $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$ , despejando y reemplazando $\sec \alpha$ se obtiene:

\sen \alpha = \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha} = \cfrac {\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}}

En función de la cotangente

Sabiendo que $\sen \alpha = \frac{1}{\csc \alpha}$ , y que $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ , entonces:

\sen \alpha = \cfrac{1}{\csc \alpha} = \cfrac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}}

En función de la secante

\sen \alpha = \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha}

Como $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$ , despejando y reemplazando $\tan \alpha$ se obtiene:

\sen \alpha = \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha} = \cfrac {\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}{\sec \alpha}

En función de la cosecante

El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

\sen \alpha = \cfrac{1}{\csc \alpha}

Seno de la suma de dos ángulos

$\sen\left(\alpha +\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sen\beta$ $\sen\left(\alpha -\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sen\beta$
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble

$\sen\left(2\alpha\right)=2\sen\alpha\cos\alpha$
Como: $\sen\left(\alpha+\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta$ Bastará con el cambio $\beta=\alpha\,$

Seno del ángulo mitad

$\sen \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \text{ para }k\in \mathbb{Z}$
Usando las fórmulas: $\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$ y $\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sen^2\theta$ resulta: $\cos\left(2\theta\right)=1-2\sen^2\theta$ Representación de $y\;=\;\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.$ y aislando $\sen \theta$ : $\vert \sen \theta \vert=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$ El cambio $\theta=\frac{\alpha}{2}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno: $0<\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [0,\,\pi)+2k\pi,$ $0>\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\pi,\,2\pi)+2k\pi$ donde $k\in\mathbb{Z}$ .

Suma de senos como producto

$\sen a+ \sen b = 2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$ $\sen a- \sen b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)$
Usando seno de la suma de dos ángulos y con el cambio $a=\alpha+\beta, b=\alpha-\beta$ se tine: $\sen a =\sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)+\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sen\left(\frac{a-b}{2}\right)$ $\sen b =\sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) -\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sen\left(\frac{a-b}{2}\right)$ Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.

Producto de senos como suma

$\sen(\alpha)\sen(\beta)=\frac12 \left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)=\sen^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\sen^2 \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)= \cos^2 \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\cos^2 \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
Usando las ecuaciones de coseno de la suma de dos ángulos y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de coseno del ángulo doble resulta la segunda ecuación.

Potencias de senos

$\sen^2 x = \frac{1}{2}( 1 - \cos 2x )$

$\sen^3 x = \frac{1}{4}( 3\sen x - \sen 3 x )$

no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens

Véase también

En inglés: Trigonometric function Facts for Kids

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