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Coseno para niños

Enciclopedia para niños
Datos para niños
Coseno
Cosine.svg
Gráfica de Coseno
Definición cos x
Dominio \mathbb{R}
Imagen [-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada -sen x
Función primitiva sen x + c
Función inversa arccos x

En matemática, el coseno es una función par y continua con periodo 2 \pi , además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

\cos \; x=\cos (-x)
\cos \; x=-\cos (x + \pi)

En trigonometría, el coseno de un ángulo \alpha de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

Trigono b00.svg
\cos\alpha = \frac{b}{c}= \frac{AC}{AB}

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo \alpha.

Si B pertenece a la circunferencia de radio uno con centro O=A se tiene:

\cos\alpha =b=AC

Ya que c=AB=1.

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector \vec{AB} mediante su descomposición en los vectores ortonormales \vec{AC} y \vec{CB}.

Cálculo por serie de potencias

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real x con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, x . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

\cos x = 1 - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} - \cfrac{x^6}{6!} + \ldots + (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \ldots

que en sumatorio sería:

\cos x = \sum_{n=0}^\infty \; (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!}

En el plano complejo

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

{\cos}\ (z)=\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}
Dada la fórmula de Euler:
e^{iz}={\cos}\ (z)+i{\sen}\ (z)

donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a e^{-iz} se tiene también que:

e^{-iz}={\cos}\ (-z)+i{\sen}\ (-z)= {\cos}\ (z)-i{\sen}\ (z)

Sumando estas dos ecuaciones se tiene:

e^{iz}+e^{-iz}=2{\cos}\ (z)

donde despejando el coseno se obtiene lo que se quiere.

Representación gráfica en la recta

Archivo:Función Trigonométrica R010
Gráfica de la función coseno, con el eje X expresado en radianes.

Relaciones trigonométricas

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

\cos \; \alpha=\;\;\;\cos \; ( \alpha + k 2 \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}
Por inducción ya que aplicando un número par de veces \cos \; \alpha=-\cos (\alpha + \pi) se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada \frac{\pi}{2} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

\cos \alpha=\sen\left(\alpha+ \frac{\pi}{2}\right)

Coseno de la suma de dos ángulos

\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sen\alpha \sen\beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sen\alpha \sen\beta

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Coseno del ángulo doble

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha
Como:
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sen\alpha \sen\beta

Bastará con el cambio \beta=\alpha\,

Coseno del ángulo mitad

\cos \bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2}\in [-\frac{\pi}{2},\,\,\frac{\pi}{2}\,)+2k\pi \\ -\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2}\in [\;\;\;\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2})+2k\pi \end{cases}\;, \;\;para\;k\in \mathbb{Z}
Usando las fórmulas:
\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\, y
\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sen^2\theta

resulta:

\cos\left(2\theta\right)=2\cos^2\theta-1
Archivo:ValAbsCos
Representación de y\;=\;\sqrt{\frac{1+\cos(2x)}{2}}.

y aislando \sen \theta:

\vert \cos \theta \vert=\sqrt{\frac{1+\cos(2\theta)}{2}}

El cambio \theta=\frac{\alpha}{2} corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

0<\cos \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2})+2k\pi,
0>\cos \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2})+2k\pi

donde k\in\mathbb{Z}.

Suma de funciones como producto

\cos a+ \cos b = \;\;\;2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)

\cos a- \cos b = -2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Producto de funciones como suma

\cos(A) \cos(B) = \cos^2\left( \frac{A+B}{2} \right) - \;\sen^2\left( \frac{A-B}{2} \right) = \cos^2\left( \frac{A-B}{2} \right) - \;\sen^2\left( \frac{A+B}{2} \right)
\cos(A) \cos(B) = \frac12 \left( \cos(A+B)+ \cos(A-B) \right)

Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud

Ángulos en Rad (X) Ángulos en Grados (X°) Cos(X)
\frac{\pi}{6} 30° \frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{\pi}{4} 45° \frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{\pi}{3} 60° \frac{1}{2}
\frac{\pi}{2} 90° 0
\pi 180° -1
2\pi 360° 1

Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par.

Derivada del coseno

\cos'x=-\sen x\,

Generalizaciones del coseno

  • Coseno hiperbólico cosh(x)
  • Función elíptica cn(x)

Véase también

no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens

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