Cálculo de variaciones para niños
El cálculo de variaciones es una rama de las matemáticas que se encarga de encontrar la mejor manera de hacer algo. Imagina que quieres encontrar el camino más corto entre dos puntos, o la forma de una cuerda que cuelga para que sea lo más estable posible. El cálculo de variaciones nos ayuda a resolver este tipo de problemas.
Es como una versión más avanzada del cálculo que ya conoces, donde en lugar de buscar el punto más alto o más bajo de una función simple, buscamos la función completa que nos dé el mejor resultado. Se usa mucho en física para entender cómo se mueven las cosas y cómo funcionan las leyes de la naturaleza.
Matemáticos importantes como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange fueron pioneros en este campo a mediados del siglo XVIII. Hoy en día, sigue siendo un área de estudio muy activa. De hecho, uno de los famosos "problemas de Hilbert" (el problema 23) pregunta cómo se pueden seguir desarrollando los métodos del cálculo de variaciones. Matemáticos como Ennio De Giorgi y Charles Morrey han hecho contribuciones importantes. Los descubrimientos de la matemática alemana Emmy Noether también son muy importantes en la física moderna, especialmente en relación con las simetrías. En 2019, la matemática estadounidense Karen Uhlenbeck recibió el Premio Abel por su trabajo en este campo.
Contenido
¿Cómo surgió el cálculo de variaciones?
El cálculo de variaciones nació de un desafío muy interesante llamado el problema de la curva braquistócrona. Este problema fue propuesto por el matemático Johann Bernoulli en 1696.
El problema de la curva braquistócrona
Imagina que tienes dos puntos, uno más alto que el otro, y quieres encontrar la forma de un tobogán por el que una canica se deslice desde el punto más alto hasta el más bajo en el menor tiempo posible. ¿Sería una línea recta? ¿Una curva suave? Este es el problema de la braquistócrona.
Muchos matemáticos famosos se interesaron en este desafío, incluyendo Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital. Pero fue Leonhard Euler quien realmente sentó las bases de la teoría del cálculo de variaciones en 1733 con su libro Elementos del cálculo de variaciones, que le dio nombre a esta rama de las matemáticas.
Otros matemáticos importantes
Después de Euler, Lagrange hizo muchas contribuciones. Adrien-Marie Legendre (en 1786) propuso un método para distinguir entre los resultados más altos y más bajos. Incluso Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dos gigantes de las matemáticas, también estudiaron este tema.
Durante el siglo XIX, muchos otros matemáticos como Carl Friedrich Gauss y Carl Jacobi continuaron desarrollando la teoría. Uno de los trabajos más importantes de esa época fue el de Weierstrass, que estableció el cálculo de variaciones sobre una base muy sólida y rigurosa.
En el siglo XX, los problemas 20 y 23 de Hilbert, planteados en 1900, impulsaron nuevos avances. Matemáticos como David Hilbert, Emmy Noether, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard hicieron contribuciones notables. Marston Morse aplicó estas ideas a una nueva área llamada teoría de Morse. Más recientemente, matemáticos como Lev Semenovich Pontryagin desarrollaron nuevas herramientas para el control óptimo, que es una generalización del cálculo de variaciones.
El problema isoperimétrico
Otro problema clásico que se resuelve con el cálculo de variaciones es el problema isoperimétrico. Imagina que tienes una cuerda de una longitud fija y quieres usarla para rodear la mayor área posible en el suelo. ¿Qué forma deberías darle a la cuerda?
Si no hay otras condiciones, la respuesta es un círculo. Un círculo siempre encierra la mayor área para una longitud de perímetro dada. El cálculo de variaciones nos ayuda a demostrar por qué esto es así y a encontrar la solución incluso cuando hay condiciones adicionales, como si la cuerda debe tocar ciertos puntos.
¿Qué son los extremos en el cálculo de variaciones?
En el cálculo de variaciones, buscamos los "extremos" de algo llamado "funcional". Un funcional es como una función, pero en lugar de tomar un número y darte otro número, toma una función completa y te da un número. Por eso, a veces se les llama "funciones de funciones".
Cuando decimos que un funcional tiene un "extremo" en una función, significa que esa función hace que el resultado del funcional sea el más alto (un máximo) o el más bajo (un mínimo) posible en su vecindad. La función que logra esto se llama "función extrema".
Hay dos tipos principales de extremos: "fuertes" y "débiles". Ambos se refieren a funciones continuas, pero los extremos fuertes tienen una condición adicional sobre la continuidad de las primeras derivadas de las funciones. Encontrar extremos fuertes es más complejo que encontrar extremos débiles. Una herramienta muy importante para encontrar extremos débiles es la ecuación de Euler–Lagrange.
¿Cómo se formula un problema de cálculo de variaciones?
En el cálculo diferencial, a menudo buscamos el valor de una variable x que hace que una función f(x) sea máxima o mínima. En el cálculo de variaciones, el problema es encontrar una función completa f(x) que haga que un funcional J[f] alcance su valor más alto o más bajo.
Este funcional J[f] generalmente se expresa como una integral que depende de la variable x, de la función f(x) y de sus derivadas (cómo cambia la función). La función f(x) debe pertenecer a un grupo específico de funciones, y tanto ella como sus derivadas pueden tener ciertas limitaciones.
Galería de imágenes
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Leonhard Euler, uno de los fundadores del cálculo de variaciones.
Véase también
En inglés: Calculus of variations Facts for Kids
