Ángulo para niños

Un ángulo positivo de 45°

Ángulo de amplitud de 1 grado sexagesimal

En geometría euclidiana, un ángulo es una figura que se forma cuando dos líneas rectas (llamadas lados) se unen en un punto común. Este punto se llama vértice. Imagina las manecillas de un reloj: el espacio entre ellas es un ángulo.

La medida de un ángulo nos dice qué tan abierta está esa figura. Se calcula usando un arco de círculo que tiene su centro en el vértice del ángulo. La unidad más común para medir ángulos es el grado sexagesimal, pero también se usan el radián o el grado centesimal.

Los ángulos pueden estar en superficies planas, como una hoja de papel, o en superficies curvas, como una esfera. También existen los ángulos diedros, que son el espacio entre dos planos que se unen en una línea. Un ángulo sólido es como el espacio que ocupa un objeto cuando lo miras desde un punto.

La palabra "ángulo" también se usa para hablar de la medida de una rotación o giro. Es la relación entre la longitud de un arco circular y su radio.

¿De dónde viene la palabra "ángulo"?

La palabra ángulo viene del latín angŭlus, que significa 'esquina'. Está relacionada con una palabra muy antigua, *ank-, que significaba 'doblarse' o 'inclinarse'.

Un matemático griego llamado Euclides definió el ángulo como la inclinación de dos líneas que se encuentran en un plano. Otros pensadores de la antigüedad, como Proclus, debatieron si un ángulo era una cualidad, una cantidad o una relación.

¿Cómo se definen y clasifican los ángulos?

Podemos entender los ángulos de dos maneras principales:

Ángulos: Formas y Giros

• Forma geométrica: Un ángulo es el espacio o la abertura entre dos líneas que se unen en un punto llamado vértice. Piensa en la esquina de una mesa o en la abertura de una tijera.
• Forma trigonométrica: Un ángulo también puede ser la cantidad de giro que hace una línea recta alrededor de uno de sus extremos. Si la línea gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo. Si gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj, el ángulo es negativo.

Región angular

Cuando un ángulo divide un plano, crea dos partes. Cada una de esas partes se llama región angular.

¿Cómo se mide un ángulo?

La amplitud de un ángulo es su medida. Para medir ángulos, usamos herramientas como el transportador de ángulos.

Unidades para medir ángulos

Las unidades más comunes para medir ángulos son:

• Radián: Es la unidad oficial en el Sistema Internacional de Unidades. Una vuelta completa son 2π radianes (aproximadamente 6.28 radianes).
• Grado sexagesimal: Es la unidad más conocida. Una vuelta completa son 360°.
• Grado centesimal: Una vuelta completa son 400^g.

Transportador de ángulos

Ángulos positivos y negativos

Aunque un ángulo es una abertura, a veces es útil darle un signo (positivo o negativo) para indicar la dirección de un giro.

En un sistema de coordenadas cartesianas, si el ángulo gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, es positivo. Si gira en el sentido de las manecillas del reloj, es negativo. Por ejemplo, un giro de -45° es lo mismo que un giro de 315° en cuanto a la posición final, pero el movimiento es diferente.

En la navegación, los rumbos se miden desde el norte y son positivos en el sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, 45° es noreste.

Tipos de ángulos según su tamaño

Los ángulos tienen nombres especiales según su amplitud:

Las manecillas de un reloj forman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Ángulos coterminales

Son ángulos que, aunque se obtienen con diferentes giros, terminan en la misma posición. Por ejemplo, 30° y 390° son coterminales (30° + 360° = 390°).

Ángulos convexo y cóncavo

Cuando dos semirrectas se unen, siempre forman dos ángulos:

Ángulos con relaciones especiales

Los ángulos pueden tener relaciones entre sí según su posición o la suma de sus medidas:

Por su posición

• Ángulos consecutivos: Comparten un lado y el vértice.
• Ángulos adyacentes: Comparten un vértice y un lado, y sus otros lados forman una línea recta. Suman 180°.
• Ángulos opuestos por el vértice: Sus lados son las prolongaciones de los lados del otro ángulo. Son iguales.

Por la suma de sus medidas

• Ángulos congruentes: Miden lo mismo.
• Ángulos complementarios: Suman 90°.
• Ángulos suplementarios: Suman 180°.
• Ángulos replementarios o conjugados: Suman 360°.

Ángulos formados por dos líneas cortadas por una tercera

Cuando una línea (llamada secante) corta a otras dos líneas, se forman ángulos con nombres especiales:

Secante a dos rectas

• Ángulos alternos internos: Están entre las dos líneas cortadas y en lados opuestos de la secante. Si las dos líneas son paralelas, estos ángulos son iguales.
• Ángulos alternos externos: Están fuera de las dos líneas cortadas y en lados opuestos de la secante. Si las dos líneas son paralelas, estos ángulos son iguales.
• Ángulos correspondientes: Están en el mismo lado de la secante, uno dentro y otro fuera de las dos líneas. Si las dos líneas son paralelas, estos ángulos son iguales.
• Ángulos conjugados internos: Están entre las dos líneas cortadas y en el mismo lado de la secante. Si las dos líneas son paralelas, suman 180°.
• Ángulos conjugados externos: Están fuera de las dos líneas cortadas y en el mismo lado de la secante. Si las dos líneas son paralelas, suman 180°.

Ángulos en figuras geométricas

Ángulos internos y externos de un polígono

Ángulos internos y externos.

• Un ángulo interior de un polígono simple es el ángulo que se forma dentro de la figura, entre dos lados que se unen.

* En un triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180°. * En un cuadrilátero (figura de cuatro lados), la suma de sus ángulos interiores es 360°. * En general, para un polígono convexo con n lados, la suma de sus ángulos interiores es (n - 2) * 180°.

• Un ángulo exterior de un polígono se forma por un lado y la prolongación del lado adyacente. Un ángulo interior y su ángulo exterior forman un ángulo llano (suman 180°).

* La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo simple es siempre 360°.

Ángulos relacionados con una circunferencia

Ángulos en la circunferencia

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y, por tanto, son iguales

Los ángulos pueden tener una relación especial con una circunferencia:

• Ángulo central: Su vértice está en el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la del arco que abarca.
• Ángulo inscrito: Su vértice está sobre la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. Su medida es la mitad de la del arco que abarca.
• Ángulo semiinscrito: Su vértice está sobre la circunferencia, un lado la corta y el otro es tangente a ella en el vértice. Su medida es la mitad de la del arco que abarca.
• Ángulo interior: Su vértice está dentro de la circunferencia. Su medida es la mitad de la suma de los dos arcos que abarcan sus lados y sus prolongaciones.
• Ángulo exterior: Su vértice está fuera de la circunferencia. Su medida es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados.

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema antiguo de la geometría. Consiste en dividir un ángulo en tres partes iguales usando solo una regla y compás. Se ha demostrado que, en general, esto es imposible de hacer con esas herramientas.

Ángulos en tres dimensiones

• El ángulo diedro es el espacio entre dos semiplanos que se unen en una línea recta.
• El ángulo sólido es la zona del espacio que abarca un objeto visto desde un punto, como el ángulo que forma un cono.

Galería de imágenes

• 

  Un ángulo positivo de 45°

• 

  Ángulo de amplitud de 1 grado sexagesimal

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  Transportador de ángulos

• 

  Las manecillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

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  Ángulo nulo (0°)

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  Ángulo agudo (45°)

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  Ángulo recto (90°)

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  Ángulo obtuso (135°)

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  Ángulo llano (180°)

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  Ángulo oblicuo (225°)

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  Ángulo completo o perigonal (360°)

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  Ángulo convexo (60°)

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  Ángulo cóncavo (240°)

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  Secante a dos rectas

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  Dos ángulos contiguos forman un ángulo compuesto

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  Ángulos internos y externos de un polígono

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  Ángulos en la circunferencia

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  Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y, por tanto, son iguales

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  La medida del ángulo θ es s/r en radianes

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  θ = s/r rad = 1 rad.

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  15°

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  30°

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  60°

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  75°

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  105°

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  120°

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  150°

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  165°

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  195°

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  210°

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  255°

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  270°

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  285°

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  300°

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  315°

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  330°

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  345°

Véase también