Teoría del orden para niños

La teoría del orden es una parte de las matemáticas que estudia diferentes tipos de relaciones binarias que nos ayudan a entender la idea de "orden" en matemáticas. Imagina que tienes una lista de cosas y quieres saber cómo se relacionan entre sí, por ejemplo, cuál va antes o cuál es más grande. La teoría del orden nos da las herramientas para describir estas relaciones de manera precisa.

¿Qué es el orden y por qué es importante?

El orden está presente en muchos lugares, especialmente en las matemáticas y en campos como la informática.

El orden en los números

Cuando empiezas a aprender matemáticas en la escuela, uno de los primeros órdenes que conoces es el "menor o igual que" (≤) de los números naturales (1, 2, 3...). Esta idea se extiende fácilmente a otros conjuntos de números, como los enteros (..., -1, 0, 1, ...) y los números reales. Saber si un número es mayor o menor que otro es una idea fundamental en los sistemas de números. Otro ejemplo común de orden es cómo se organizan las palabras en un diccionario, que se llama orden lexicográfico.

Órdenes totales y parciales

Los ejemplos que acabamos de ver (números, palabras) tienen una característica especial: siempre puedes comparar cualquier elemento con otro. Es decir, un elemento es mayor, menor o igual que el otro. A esto lo llamamos orden total.

Sin embargo, no todos los órdenes son así. Piensa en los subconjuntos de un conjunto. Si un conjunto contiene todos los elementos de otro, decimos que es "mayor o igual". Pero puede haber conjuntos que no se puedan comparar de esta manera. Por ejemplo, si tienes el conjunto A={1,2} y el conjunto B={2,3}, ninguno de los dos contiene al otro por completo. En este caso, la relación de "inclusión de subconjuntos" es un orden parcial. Esto significa que algunos elementos pueden no ser comparables entre sí.

La teoría del orden no solo estudia los diferentes tipos de relaciones de orden, sino también las funciones que se comportan bien con estos órdenes. Por ejemplo, en el análisis matemático, a menudo encontramos funciones monótonas, que son aquellas que "preservan" el orden (si un número es mayor, su imagen también lo es).

Conceptos básicos del orden

Para entender mejor la teoría del orden, vamos a ver algunas definiciones importantes. Necesitas saber qué es un conjunto y una relación binaria.

Conjuntos parcialmente ordenados (posets)

Un orden es un tipo especial de relación binaria. Si tenemos un conjunto P y una relación ≤ en P, decimos que ≤ es un orden parcial si cumple tres reglas para cualquier elemento a, b y c en P:

• a ≤ a (reflexividad): Todo elemento está relacionado consigo mismo.
• Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad): Si a está relacionado con b, y b con c, entonces a también está relacionado con c.
• Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría): Si a está relacionado con b y b con a, entonces a y b son el mismo elemento.

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado o, de forma abreviada, poset. Los órdenes de los naturales, enteros y reales son ejemplos de órdenes parciales. Además, tienen una propiedad extra: para cualquier a y b, siempre se cumple que a ≤ b o b ≤ a. A este tipo de orden se le llama orden total o orden lineal.

Dibujando órdenes: Diagramas de Hasse

Para entender mejor un orden, podemos dibujarlo usando los diagramas de Hasse. Son como mapas donde los puntos son los elementos del poset y las líneas nos muestran la relación de orden. Se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que y, hay un camino hacia arriba desde x hasta y. No se dibujan líneas si la relación ya se puede deducir por transitividad (por ejemplo, si A<B y B<C, no se dibuja una línea directa de A a C).

Incluso los conjuntos infinitos a veces se pueden ilustrar con estos diagramas, usando puntos suspensivos (...) para mostrar que el patrón continúa.

Un ejemplo interesante es la relación de divisibilidad (|) entre números naturales. Decimos que n|m si n divide a m sin dejar resto. Esto es un orden parcial. Por ejemplo, 2|4, pero 2 y 3 no son comparables por divisibilidad.

Elementos especiales en un orden

En un poset, algunos elementos tienen un papel especial:

• Mínimo: Es el elemento más pequeño de todos. Por ejemplo, el 1 es el mínimo de los números naturales. Si existe, es único.
• Máximo: Es el elemento más grande de todos. Por ejemplo, en el orden de divisibilidad, el 0 es el máximo porque todos los números lo dividen. Si existe, es único.
• Minimal: Un elemento es minimal si no hay ningún otro elemento más pequeño que él. Puede haber varios elementos minimales.
• Maximal: Un elemento es maximal si no hay ningún otro elemento más grande que él. Puede haber varios elementos maximales.

También podemos hablar de elementos especiales para un subconjunto del poset:

• Cota superior: Para un subconjunto S, una cota superior es un elemento que es mayor o igual que todos los elementos de S.
• Cota inferior: Es lo opuesto a la cota superior; un elemento que es menor o igual que todos los elementos de S.
• Supremo (o menor cota superior): Es la cota superior más pequeña de un subconjunto. Se escribe sup S.
• Ínfimo (o mayor cota inferior): Es la cota inferior más grande de un subconjunto. Se escribe inf S.

Por ejemplo, en la relación de divisibilidad, el supremo de dos números es su mínimo común múltiplo, y el ínfimo es su máximo común divisor.

Dualidad en el orden

Muchas definiciones en la teoría del orden tienen una "versión opuesta". Por ejemplo, "menor" y "mayor", "mínimo" y "máximo", "cota superior" y "cota inferior". Esto se debe a la dualidad. Si invertimos la dirección de un orden (como si volteáramos el diagrama de Hasse), obtenemos el orden dual o inverso.

Esta dualidad es muy útil porque si un teorema es cierto para un orden, su "versión dual" (cambiando todas las definiciones por sus opuestas) también será cierta. ¡Es como obtener dos teoremas por el precio de uno!

Creando nuevos órdenes

Podemos construir nuevos órdenes de varias maneras:

• Orden dual: Ya lo vimos, es el orden invertido.
• Producto cartesiano: Si tenemos dos posets, podemos crear un nuevo orden con pares de elementos.
• Orden estricto: A partir de un orden parcial ≤, podemos definir un orden estricto < (a < b si a ≤ b y a no es igual a b).

Funciones entre órdenes

Cuando trabajamos con funciones entre posets, es importante que estas funciones "respeten" el orden.

• Función monótona (o que preserva el orden): Una función f es monótona si, cuando a ≤ b en el primer poset, entonces f(a) ≤ f(b) en el segundo poset. Es decir, mantiene la relación de orden.
• Función que refleja el orden: Si f(a) ≤ f(b) implica que a ≤ b.
• Función antítona (o que invierte el orden): Si a ≤ b implica que f(a) ≥ f(b). Es decir, invierte la relación de orden.

Un isomorfismo de orden es una función especial que es monótona y tiene una inversa monótona. Esto significa que dos posets son "esencialmente iguales" si existe un isomorfismo entre ellos; solo se han "renombrado" los elementos.

Tipos especiales de órdenes

Además de los órdenes parciales y totales, existen otros tipos de órdenes con propiedades adicionales:

• Buen orden: Es un orden total donde cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.
• Reticulados: Son posets donde cualquier par de elementos tiene un supremo y un ínfimo.
• Reticulados completos: Son reticulados donde cualquier conjunto (no solo pares) tiene un supremo y un ínfimo.
• Álgebras de Boole: Son un tipo especial de reticulado que tienen una operación de "negación". Son muy importantes en la lógica matemática y en la informática.

Subconjuntos especiales en un orden

Dentro de un conjunto ordenado, podemos definir subconjuntos con características especiales:

• Conjuntos superiores: Contienen todos los elementos que están "por encima" de ellos en el orden.
• Conjuntos inferiores: Contienen todos los elementos que están "por debajo" de ellos en el orden.
• Ideales: Son conjuntos inferiores donde cualquier par de elementos tiene una cota superior dentro del ideal.
• Filtros: Son lo opuesto a los ideales.
• Cadenas: Son subconjuntos que están totalmente ordenados (todos sus elementos son comparables entre sí).
• Anticadenas: Son subconjuntos donde ningún par de elementos es comparable entre sí.

Áreas de las matemáticas relacionadas

La teoría del orden se conecta con muchas otras ramas de las matemáticas:

Álgebra universal

El álgebra universal nos ayuda a estudiar los órdenes como si fueran estructuras algebraicas, con operaciones que cumplen ciertas reglas.

Topología

En topología, el orden juega un papel importante. Por ejemplo, el conjunto de los conjuntos abiertos en un espacio topológico forma un tipo especial de reticulado completo. También, conceptos como los filtros y las redes están relacionados con la teoría del orden.

Teoría de categorías

Los diagramas de Hasse se parecen a los diagramas de categorías. De hecho, cada orden puede verse como una categoría especial. Las funciones entre órdenes se convierten en "funtores" entre categorías. Muchas ideas de la teoría del orden son versiones más sencillas de conceptos de la teoría de categorías. Por ejemplo, un ínfimo es un "producto categórico".

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Véase también

En inglés: Order theory Facts for Kids