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Subconjunto para niños

Enciclopedia para niños

Un conjunto A es un subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos que están en A también se encuentran en B. Esto significa que A "está contenido" dentro de B.

¿Qué es un subconjunto?

Cuando decimos que un conjunto A es un subconjunto de B, es como decir que A es una parte de B. Otra forma de expresarlo es que A "está incluido en" B, o que B "incluye a" A.

Ejemplos de subconjuntos

Aquí tienes algunos ejemplos para entenderlo mejor:

  • El conjunto de todas las mujeres es un subconjunto del conjunto de todas las personas. Todas las mujeres son personas.
  • El conjunto {1, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3, 4}. Los números 1 y 3 están en ambos conjuntos.
  • El conjunto de los números pares positivos {2, 4, 6,...} es un subconjunto de los números naturales {1, 2, 3,...}. Todos los números pares positivos son números naturales.

¿Qué es un subconjunto propio?

Sabemos que cada elemento de un conjunto A es un elemento de sí mismo. Por eso, podemos decir que:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Esto significa que si tenemos dos conjuntos A y B donde A es un subconjunto de B (AB), es posible que A y B sean exactamente iguales (A = B).

Pero también puede ocurrir que A contenga algunos elementos de B, pero no todos. En ese caso, decimos que:

Si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B (AB), entonces A es un subconjunto propio de B. Esto se escribe como AB. (También se dice que B es un superconjunto propio de A, lo que se escribe BA)

Todos los ejemplos de subconjuntos que vimos antes son, de hecho, subconjuntos propios. Esto es porque el conjunto de las mujeres no es igual al conjunto de todas las personas, {1, 3} no es igual a {1, 2, 3, 4}, y los números pares positivos no son todos los números naturales.

El conjunto potencia

El conjunto potencia (o conjunto de partes) de un conjunto A es un conjunto especial que contiene a todos los subconjuntos posibles de A.

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

\mathcal P (A)=\{B:\,B\subseteq A\}

Si un conjunto A tiene un número finito de elementos (por ejemplo, si tiene n elementos), su conjunto potencia también será finito y tendrá 2n elementos.

Por ejemplo, si tenemos el conjunto A = {a, b}, que tiene 2 elementos, su conjunto potencia tendrá 22 = 4 elementos. Estos son:

\mathcal P(A)=\{\emptyset,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Aquí, representa el conjunto vacío, que no tiene ningún elemento.

Propiedades importantes de los subconjuntos

Hay algunas reglas y propiedades que siempre se cumplen con los subconjuntos:

El conjunto vacío

El conjunto vacío, que se escribe como , es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos que no estén en otro conjunto. Es como decir que no tiene nada que no pertenezca a otro lugar.

Propiedad de la transitividad

Si un conjunto A es subconjunto de B, y a su vez B es subconjunto de C, entonces podemos asegurar que A también es subconjunto de C.

Archivo:Subset with expansion
A \subseteq B y Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): B \subseteq C implica Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A \subseteq C.
En el diagrama, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A \subseteq B \subseteq C .

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Propiedad de la igualdad

Si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, significa que tienen exactamente los mismos elementos. Por lo tanto, son el mismo conjunto.

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, entonces A = B.

Propiedades avanzadas de la inclusión

La relación de "ser subconjunto de" tiene propiedades similares a las de un relación de orden no estricto:

  • Es reflexiva: Un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo (AA).
  • Es transitiva: Si AB y BC, entonces AC.
  • Es antisimétrica: Si AB y BA, entonces A = B.

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Otros temas relacionados

ro:Mulțime#Submulțimi

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Subset Facts for Kids

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Subconjunto para Niños. Enciclopedia Kiddle.