Subconjunto para niños
En matemáticas, un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A si todos los elementos de B pertenecen también a A. Decimos entonces que B «está contenido» dentro de A.
Contenido
Definición
La diferencia entre los conjuntos es formado por elementos que pertenecen a uno y a los otros no.
Otras maneras de decirlo son «B está incluido en A», «A incluye a B», etc.
Ejemplos.
- El «conjunto de todas las mujeres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».
- {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}
- {2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N
( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )
Subconjunto pares
Es cierto que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:
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Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.
Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:
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Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.
También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.
Conjunto potencia
La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:
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Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, por ejemplo |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.
Ejemplo. Dado el conjunto A Plantilla:= {a, b}, su conjunto potencia es:
Propiedades
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Esto es debido a que «todo elemento de ∅ lo es de A» significa lo mismo que «∅ no tiene ningún elemento que esté en A», y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.
Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entonces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:
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Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:
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Propiedades avanzadas
La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A ⊆ A); transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y antisimétrica (A ⊂ B y B ⊂ A implican A = B).
Véase también
En inglés: Subset Facts for Kids
- Teoría de conjuntos
- Conjunto
- Intersección de conjuntos
- Unión de conjuntos
- Diferencia de conjuntos
- Complemento de un conjunto
ro:Mulțime#Submulțimi
