Función monótona para niños

En matemáticas, una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primero en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

Definición general

Sea

una función entre dos conjuntos y , donde cada conjunto tiene un orden parcial (los dos se denotarán por ≤). En cálculo se habla de funciones entre subconjuntos de los reales, y el orden ≤ no es otro que el orden usual de la recta real, aunque esto no es esencial para la definición.

La función es monótona si y solo si implica (es decir, la función es creciente), o bien implica (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.

Es decir una función es monótona cuando es creciente o decreciente en todo su dominio.

Funciones booleanas

Los retículos distributivos libres de funciones booleanas monótonas sobre 0, 1, 2 y 3 argumentos.

En el álgebra de Boole, una función monótona es una tal que para todo a_i y b_i en {0,1} tales que a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ... , a_n ≤ b_n

es cierto que se cumple

f(a₁, ... , a_n) ≤ f(b₁, ... , b_n).

Las funciones booleanas monótonas son precisamente aquellas que pueden ser definidas como una composición de conjunciones y disyunciones, pero sin negaciones.

El número de estas funciones sobre n variables es conocido como el número de Dedekind de n.

Véase también

En inglés: Monotonic function Facts for Kids

• Análisis matemático
• Función matemática
• Teorema del valor intermedio