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Elemento simétrico para niños

Enciclopedia para niños

En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto A \, en el que se ha definido una operación matemática \circledcirc , que anotamos: ( A , \circledcirc ) \,, siendo la operación \circledcirc , interna en A \, :

\begin{array}{rccl} \circledcirc : & A \times A & \longrightarrow & A \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \circledcirc b \end{array}

Con elemento neutro e \,:

\exists\, e \in A \; , \quad \forall a \in A \; : \quad a \circledcirc e = e \circledcirc a = a

Se dice que un elemento a \in A tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación \circledcirc si:

a \in A \; , \quad \exists \overrightarrow{a} \in A \; : \quad \overrightarrow{a} \circledcirc a = e

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación \circledcirc si:

a \in A \; , \quad \exists \overleftarrow{a} \in A \; : \quad a \circledcirc \overleftarrow{a} = e

elemento simétrico respecto de la operación \circledcirc si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

a \in A \; , \quad \exists \bar{a} \in A \; : \quad \bar{a} \circledcirc a = a \circledcirc \bar{a} = e

Un elemento simétrico \bar{a} de A \, es simétrico por la derecha del elemento a \, y simétrico por la izquierda del elemento a \, .

Notación

Notación aditiva

Artículo principal: Elemento opuesto

Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.

Ejemplo

La suma en el conjunto de los números enteros: \mathbb{Z},

\begin{array}{rccl} \oplus : & \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z} \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \oplus b \end{array}

es interna:

\forall a, b \in \mathbb{Z} \; : \quad a \oplus b \in \mathbb{Z}

En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",

\forall a \in \mathbb{Z} \; , \quad \exists 0 \in \mathbb{Z} \; : \quad a \oplus 0 = 0 \oplus a = a

El elemento simétrico de a \, se denomina elemento opuesto de a \, y se denota por: -a \, .

Para dicho conjunto de números entero la operación suma: \oplus , tenemos que:

a \in \mathbb{Z} \; , \quad \exists (-a) \in \mathbb{Z} \; : \quad (-a) \oplus a = a \oplus (-a) = 0

Notación multiplicativa

Artículo principal: Elemento inverso

Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.

Ejemplo

La multiplicación en el conjunto de los números racionales: \mathbb{Q},

\begin{array}{rccl} \odot : & \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} & \longrightarrow & \mathbb{Q} \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b \end{array}

es interna:

\forall a, b \in \mathbb{Q} \; : \quad a \odot b \in \mathbb{Q}

En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":

\forall a \in \mathbb{Q} \; , \quad \exists 1 \in \mathbb{Q} \; : \quad a \odot 1 = 1 \odot a = a

El elemento simétrico de a \, se denomina elemento inverso de a \, y se denota por a^{-1} \, o por \frac{1}{a}.

Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:

\forall a \in \mathbb{Q} \; ,\quad a\neq 0 \; , \quad \exists \frac{1}{a} \in \mathbb{Q} \; : \quad \frac{1}{a} \odot a = a \odot \frac{1}{a} = 1

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Inverse element Facts for Kids

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