Décimo problema de Hilbert para niños

El décimo problema de Hilbert es uno de los 23 desafíos matemáticos que el famoso matemático alemán David Hilbert presentó en el año 1900. Estos problemas buscaban impulsar la investigación en matemáticas durante el siglo XX.

El décimo problema preguntaba si era posible crear un método o "receta" (lo que hoy llamamos un algoritmo) que pudiera decirnos, en un número limitado de pasos, si una ecuación diofántica cualquiera tiene soluciones usando solo números enteros (positivos, negativos o cero). Una ecuación diofántica es una ecuación con varias incógnitas donde solo nos interesan las soluciones que son números enteros.

Imagina que tienes una máquina. Hilbert quería saber si se podía construir una máquina que, al darle cualquier ecuación diofántica, te dijera "SÍ" si la ecuación tenía soluciones enteras, o "NO" si no las tenía.

Este problema tardó 70 años en resolverse, y la respuesta fue sorprendente: ¡NO! En 1970, el matemático Yuri Matiyasévich, basándose en el trabajo de otros matemáticos como Martin Davis, Julia Robinson y Hilary Putnam, demostró que es imposible crear un algoritmo general que resuelva este problema para todas las ecuaciones diofánticas. Esto significa que no existe esa "máquina" que Hilbert imaginó.

La investigación de este problema ha sido muy importante para las matemáticas modernas, conectando ideas de la teoría de números (el estudio de los números) y la lógica matemática (el estudio del razonamiento y los fundamentos de las matemáticas).

¿Qué pedía exactamente Hilbert?

Las palabras de Hilbert, "proceso" y "número finito de operaciones", se refieren claramente a lo que hoy conocemos como un algoritmo. Un algoritmo es un conjunto de instrucciones paso a paso para resolver un problema. Cuando Hilbert hablaba de "racional entero", se refería a los números enteros, que incluyen los números positivos (1, 2, 3...), los negativos (-1, -2, -3...) y el cero (0).

Así que, en resumen, Hilbert quería un algoritmo que pudiera decidir si cualquier ecuación diofántica (una ecuación con polinomios y coeficientes enteros) tenía soluciones en el mundo de los números enteros.

Hoy sabemos que la respuesta es negativa: no existe un algoritmo general para esto.

Algunos creen que el propio Hilbert pudo haber intuido que la solución sería negativa. Antes de presentar sus problemas, dijo que a veces, cuando no encontramos una solución, el verdadero problema es demostrar que es imposible encontrarla bajo ciertas condiciones. La "solución de insolubilidad" que se encontró décadas después fue una gran sorpresa, ya que la gente esperaba encontrar un método, no una prueba de que tal método no podía existir.

Números naturales y números enteros: ¿Hay diferencia?

Cuando se trabajó en la solución de este problema, a menudo se usaron los números naturales (0, 1, 2, 3...), que son los enteros no negativos. Sin embargo, se demostró que si existiera un algoritmo para encontrar soluciones en números naturales, también podría usarse para encontrar soluciones en números enteros (positivos, negativos y cero), y viceversa.

Esto significa que el problema es igual de difícil (o imposible) tanto si buscamos soluciones en números naturales como en números enteros.

Conjuntos diofánticos: ¿Qué son?

Un conjunto diofántico es un grupo de números naturales (o de pares, o de grupos más grandes de números naturales) que pueden ser descritos por una ecuación diofántica. Es decir, si las soluciones de una ecuación diofántica forman un conjunto de números, ese conjunto es diofántico.

Por ejemplo, si tienes varias ecuaciones diofánticas al mismo tiempo, puedes combinarlas en una sola ecuación diofántica elevando cada una al cuadrado y sumándolas. Si la suma es cero, significa que todas las ecuaciones originales deben ser cero.

La conexión clave: Conjuntos diofánticos y computación

Existe un concepto en matemáticas llamado conjunto recursivamente enumerable. Imagina un algoritmo que, si le das un número que pertenece a un conjunto, se detiene y te lo confirma. Pero si el número no pertenece al conjunto, el algoritmo nunca se detiene, sigue buscando sin fin.

Es fácil ver que los conjuntos diofánticos son recursivamente enumerables. Puedes probar todas las combinaciones posibles de números para ver si son soluciones de la ecuación. Si encuentras una solución, el algoritmo se detiene.

La clave de la solución del décimo problema de Hilbert fue un teorema muy importante:

Este resultado se conoce como el Teorema de Matiyasevich o el Teorema MRDP (por Matiyasevich, Robinson, Davis y Putnam). Como se sabe que existen conjuntos recursivamente enumerables para los que no se puede crear un algoritmo que siempre se detenga (es decir, que no son "computables"), el teorema MRDP demostró que el décimo problema de Hilbert no tiene solución.

De hecho, se demostró que existe un tipo de ecuación diofántica con un parámetro 'a' para la cual no hay un algoritmo que pueda decirnos si tiene soluciones para cualquier valor de 'a'. Esto significa que no solo no hay un algoritmo general, sino que ni siquiera hay uno para algunas familias específicas de ecuaciones.

Historia del problema

¿Para qué sirve saber esto?

El teorema de Matiyasevich/MRDP conecta dos áreas de las matemáticas: la teoría de la computación (cómo funcionan los algoritmos) y la teoría de números. Esto ha tenido algunas consecuencias sorprendentes.

Una de ellas es la existencia de una ecuación diofántica "universal". Esto significa que existe una ecuación diofántica que puede "representar" cualquier otro conjunto diofántico. Es como una máquina universal que puede imitar a cualquier otra máquina.

Otra aplicación interesante es que para cada conjunto diofántico de números positivos, existe un polinomio que, al probar diferentes números naturales en sus variables, genera exactamente esos números positivos del conjunto. Por ejemplo, se puede crear un polinomio para el cual los números positivos que produce son exactamente los números primos. Sin embargo, es importante saber que no existe un polinomio que solo produzca números primos y nada más.

El teorema también tiene que ver con proposiciones matemáticas que afirman que algo es cierto para todos los números naturales (como la conjetura de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos). El teorema de Matiyasevich/MRDP implica que cada una de estas proposiciones puede ser reescrita como una afirmación de que una ecuación diofántica particular no tiene soluciones en números naturales. Problemas famosos como el último teorema de Fermat o la hipótesis de Riemann pueden expresarse de esta manera.

Además, este teorema nos ayuda a entender el teorema de incompletitud de Gödel, que dice que en cualquier sistema matemático lo suficientemente complejo, siempre habrá afirmaciones verdaderas que no se pueden demostrar dentro de ese mismo sistema.

Otros descubrimientos relacionados

Los matemáticos también han estudiado el "grado" (la potencia más alta de las incógnitas) y la "dimensión" (el número de incógnitas) de los conjuntos diofánticos.

Se ha demostrado que cualquier ecuación diofántica puede transformarse en una de grado 4 o menos. En cuanto a la dimensión, Julia Robinson y Yuri Matiyasevich demostraron que cualquier conjunto diofántico puede definirse con 13 incógnitas o menos. Matiyasevich luego lo redujo a 9 incógnitas. Esto significa que no hay un algoritmo que pueda resolver ecuaciones diofánticas con 9 incógnitas o menos.

Martin Davis también investigó problemas relacionados con el número de soluciones de una ecuación diofántica. Demostró que no existe un algoritmo que pueda decirnos si una ecuación diofántica tiene un número finito o infinito de soluciones, o si tiene un número par o impar de soluciones, o si el número de soluciones es primo, etc.

Extensiones del problema de Hilbert

Aunque Hilbert planteó el problema para los números enteros, la misma pregunta puede hacerse para otros tipos de números o estructuras matemáticas. Por ejemplo, para los números racionales (fracciones).

Se ha investigado mucho sobre este problema en otros "anillos" (estructuras matemáticas donde se pueden sumar y multiplicar números). Por ejemplo, se ha demostrado que el décimo problema de Hilbert tampoco tiene solución para los anillos de enteros de ciertos cuerpos numéricos algebraicos.

Sin embargo, para otras estructuras, como los propios números racionales, el problema sigue sin resolverse. Los matemáticos continúan investigando si existe o no un algoritmo para esas situaciones.

Galería de imágenes

• 

  Martin Davis en 2009.

• 

  Hilary Putnam en 2007.

Véase también

En inglés: Hilbert's tenth problem Facts for Kids