Algoritmo divide y vencerás para niños
En la vida diaria, la frase divide y vencerás significa resolver un problema grande y complicado. Para lograrlo, se divide el problema en partes más pequeñas y sencillas. Una vez que cada parte se resuelve, se juntan todas las soluciones para arreglar el problema original. Es como armar un rompecabezas: primero separas las piezas, luego armas secciones pequeñas y al final las unes para completar la imagen.
En el mundo de la informática, "divide y vencerás" (a menudo llamado DYV) es una forma muy importante de crear algoritmos. Un algoritmo es como una receta con pasos claros para que una computadora resuelva algo. Con DYV, un problema se divide en dos o más problemas más pequeños que son del mismo tipo. Este proceso se repite hasta que los problemas son tan sencillos que se pueden resolver directamente. Después, las soluciones de esos problemas pequeños se unen para encontrar la solución al problema grande.
Esta técnica es la base de muchos algoritmos muy eficientes. Por ejemplo, se usa para:
- Ordenar listas de datos rápidamente (como en los algoritmos quicksort y mergesort).
- Multiplicar números muy grandes (como el algoritmo de Karatsuba).
- Analizar oraciones en programas de computadora.
- Realizar la transformada discreta de Fourier, que es importante en el procesamiento de señales.
Aprender a diseñar algoritmos con "divide y vencerás" lleva tiempo. A veces, para que la división funcione, hay que pensar en el problema de una manera un poco diferente.
El nombre "divide y vencerás" también se usa para algoritmos que reducen un problema a un solo subproblema. Un ejemplo es la búsqueda binaria, que sirve para encontrar un elemento en una lista ordenada. Otro es el método de bisección, que ayuda a encontrar raíces de ecuaciones. Estos algoritmos son más sencillos y a veces se les llama "decrementa y vencerás".
La forma de saber si un algoritmo de "divide y vencerás" funciona correctamente se hace con un tipo de prueba matemática llamada inducción matemática. Para calcular cuánto tiempo tardará en ejecutarse, se usan relaciones de recurrencia.
Contenido
El Principio de Rubik
El principio de Rubik dice que un problema complicado se resuelve más fácilmente si lo divides en problemas cada vez más pequeños y simples. Esto significa que cada tarea o parte del problema se vuelve más sencilla de entender y resolver. Así, al separar el problema general en pedacitos, es más fácil encontrar la solución.
Historia de la técnica
La idea de dividir un problema para resolverlo no es nueva. La búsqueda binaria, que divide un problema a la mitad una y otra vez, tiene una historia muy larga. Ya en la antigua Babilonia, hace más de 2200 años, se usaban listas ordenadas para facilitar la búsqueda de objetos. En 1946, John Mauchly describió cómo usar este algoritmo en computadoras.
Otro algoritmo antiguo que usa la idea de "divide y vencerás" es el algoritmo de Euclides. Este algoritmo, que es de hace muchos siglos, sirve para encontrar el máximo común divisor de dos números. Lo hace reduciendo los números a problemas equivalentes cada vez más pequeños.
Un ejemplo más reciente de "divide y vencerás" con múltiples subproblemas es el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT). Carl Friedrich Gauss lo describió en 1805. Aunque él no analizó su eficiencia, este algoritmo no se hizo popular hasta que fue redescubierto mucho tiempo después.
En 1945, John von Neumann inventó el algoritmo de merge-sort. Este fue uno de los primeros algoritmos de "divide y vencerás" con dos subdivisiones que se creó específicamente para computadoras y se analizó bien.
Otro ejemplo importante es el algoritmo inventado por Anatoli Karatsuba en 1960. Este algoritmo puede multiplicar dos números muy grandes de una manera mucho más rápida que los métodos tradicionales.
Donald Knuth también dio un ejemplo de "divide y vencerás" que no se usaba en computadoras. Explicó cómo una oficina de correos organiza las cartas: primero las separan por área geográfica, luego cada grupo se divide en lotes para subregiones más pequeñas, y así sucesivamente hasta que se entregan. Esto es similar al ordenamiento Radix, que se usaba en máquinas de tarjetas perforadas.
Cómo se diseña e implementa
Para resolver un problema usando la técnica de "divide y vencerás", se siguen estos pasos principales:
- Dividir: El problema grande se separa en varios subproblemas más pequeños. Estos subproblemas deben ser del mismo tipo que el original, pero de menor tamaño.
- Resolver: Cada uno de los subproblemas se resuelve de forma independiente. Si un subproblema es muy pequeño y sencillo, se resuelve directamente. Si no, se vuelve a aplicar el paso de "dividir" de forma repetida hasta que sea fácil de resolver.
- Combinar: Las soluciones de todos los subproblemas pequeños se juntan para formar la solución final del problema original.
Los algoritmos de "divide y vencerás" se suelen diseñar como procedimientos que se llaman a sí mismos, lo que se conoce como recursión.
Recursión
Los algoritmos de "divide y vencerás" se implementan de forma natural usando la recursión. Esto significa que una función se llama a sí misma para resolver los subproblemas. Los subproblemas que aún no se han resuelto se guardan en una lista especial llamada "pila de llamadas".
Pila explícita
También se pueden implementar sin recursión, usando una estructura de datos como una pila o una cola para guardar los subproblemas. Esto da más libertad para decidir qué subproblema resolver primero.
Tamaño de la pila
Cuando se usan algoritmos recursivos, es importante asegurarse de que haya suficiente memoria para la "pila de recursión". Si no, el programa podría fallar. Afortunadamente, los algoritmos eficientes de "divide y vencerás" no suelen necesitar una pila muy grande. Por ejemplo, el algoritmo quicksort necesita una pila relativamente pequeña para ordenar muchos elementos.
Para evitar problemas de memoria, se puede reducir la cantidad de información que se guarda en la pila de recursión o usar una pila explícita en lugar de la recursión directa.
Elegir los casos base
En cualquier algoritmo recursivo, se debe decidir cuándo parar la recursión. Esto se hace definiendo los "casos base", que son los subproblemas más pequeños que se resuelven directamente.
Elegir los casos base más simples hace que el programa sea más fácil de entender. Por ejemplo, un algoritmo de ordenación podría parar cuando la lista a ordenar está vacía.
Sin embargo, a veces es más eficiente parar la recursión con casos base un poco más grandes y resolverlos con un método diferente que no sea recursivo. Esto evita que el programa haga muchas llamadas recursivas pequeñas que no aportan mucho.
Compartir subproblemas repetidos
En algunos problemas, el mismo subproblema puede aparecer varias veces. Para evitar resolverlo una y otra vez, se puede guardar la solución la primera vez que se calcula. Esta técnica se llama memoización. Si se lleva al extremo, esto lleva a técnicas como la programación dinámica, que resuelven los problemas de abajo hacia arriba.
Ventajas
Resolver problemas complejos
Esta técnica es muy útil para solucionar problemas difíciles, como el famoso juego de las torres de Hanói. El algoritmo solo necesita dividir el problema en partes más sencillas hasta llegar a los "casos base" que son fáciles de resolver. Luego, se resuelven y se combinan las soluciones en el orden inverso. La parte más difícil suele ser cómo dividir el problema.
Eficiencia del algoritmo
Generalmente, esta técnica ayuda a crear algoritmos muy eficientes. Por ejemplo, si el trabajo de dividir y combinar las soluciones es proporcional al tamaño del problema, y hay un número limitado de subproblemas en cada etapa, el algoritmo puede ser muy rápido. Muchos algoritmos de "divide y vencerás" tienen una eficiencia de O(nlogn), lo que es mucho mejor que O(n2) para problemas como la ordenación o la transformada de Fourier.
Paralelismo
Los algoritmos de "divide y vencerás" son ideales para ejecutarse en computadoras con varios procesadores. Esto se debe a que los diferentes subproblemas se pueden resolver al mismo tiempo en distintos procesadores, lo que acelera mucho el proceso.
Acceso a memoria
Estos algoritmos suelen usar la memoria caché de manera muy eficiente. Cuando un subproblema se vuelve lo suficientemente pequeño, se puede resolver completamente dentro de la caché, sin necesidad de acceder a la memoria principal, que es mucho más lenta. Esto hace que el programa sea más rápido.
Control del redondeo
En cálculos con números decimales (como los de coma flotante), un algoritmo de "divide y vencerás" puede dar resultados más precisos que un método simple. Por ejemplo, para sumar muchos números, se pueden dividir en dos mitades, sumar cada mitad de forma recursiva y luego sumar los dos resultados. Aunque esto implica más pasos, a menudo es más exacto.
Desventajas
La principal desventaja de este método es que puede ser lento debido a las llamadas repetidas a las funciones (recursión). El tiempo que se gasta en llamar a las funciones y en guardar la información de cada llamada puede anular las mejoras de velocidad que se logran al dividir el problema. Sin embargo, si los "casos base" son lo suficientemente grandes, se reduce este gasto extra.
Otra desventaja es que el método no siempre es útil si la solución del problema grande no se puede obtener simplemente sumando las soluciones de los subproblemas. Esto ocurre cuando las partes del problema interactúan mucho entre sí, creando nuevos subproblemas y aumentando la complejidad.
De manera similar, el algoritmo podría no ser adecuado si las interacciones entre los subproblemas no se pueden predecir con exactitud.
Ejemplos prácticos
- Multiplicación de enteros grandes: Un algoritmo muy eficiente para multiplicar números que son tan grandes que no caben en los límites normales de una computadora.
- Subvector de suma máxima: Un algoritmo que encuentra la parte de una lista de números cuya suma es la más grande, sin tener que revisar todas las combinaciones posibles.
Véase también
En inglés: Divide-and-conquer algorithm Facts for Kids
