Teorema fundamental de la aritmética para niños
En matemática, especialmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la aritmética (también conocido como teorema de factorización única) nos dice algo muy importante sobre los números enteros positivos. Afirma que cualquier número entero positivo mayor que 1 es un número primo o se puede escribir como un producto único de números primos.
Por ejemplo:
- 6936 = 2³ · 3 · 17²
- 1200 = 2⁴ · 3 · 5²
No hay otra forma de escribir 6936 o 1200 usando solo números primos. Como el orden en que multiplicamos los números no cambia el resultado (esto se llama conmutatividad), decimos que la factorización es única "salvo en el orden de los factores".
El teorema nos dice dos cosas: primero, que un número como 1200 se puede formar multiplicando números primos. Segundo, que no importa cómo lo hagas, siempre encontrarás exactamente cuatro 2s, un 3 y dos 5s en ese producto, y ningún otro número primo.
Es importante que los números que usamos para factorizar sean primos. Si usamos número compuestos, la factorización podría no ser única. Por ejemplo, 12 se puede escribir como 2 · 6 o como 3 · 4. Aquí, 6 y 4 no son primos.
Este teorema es una de las principales razones por las que el número 1 no se considera un número primo. Si el 1 fuera primo, la factorización no sería única. Por ejemplo, 2 podría ser 2 · 1, o 2 · 1 · 1, y así sucesivamente, lo que rompería la idea de "única".
Este teorema se aplica a otras estructuras matemáticas llamadas dominio de factorización única. Sin embargo, no siempre funciona para todos los tipos de números, como los enteros algebraicos.
Contenido
Historia del Teorema
El teorema fundamental de la aritmética tiene raíces muy antiguas. Las ideas principales se pueden encontrar en el libro Elementos del matemático griego Euclides, específicamente en el Libro VII y el Libro IX.
Euclides planteó ideas clave como el lema de Euclides, que dice:
Si un número primo divide el producto de otros dos números, entonces ese primo debe dividir al menos a uno de esos dos números.Euclides, Elementos Libro VII, Proposición 30
También afirmó que:
Todo número compuesto es medido por algún número primo.Euclides, Elementos Libro VII, Proposición 31
Esto significa que cualquier número entero mayor que uno puede ser dividido exactamente por algún número primo.
Aunque Euclides dio los primeros pasos, se considera que Kamāl al-Dīn al-Fārisī fue quien enunció por primera vez el teorema completo. Más tarde, Carl Friedrich Gauss presentó una demostración moderna y completa en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801.
¿Para qué sirve este Teorema?
Representación Canónica de un Número
Gracias a este teorema, cualquier número entero positivo n mayor que 1 se puede escribir de una única manera como un producto de números primos elevados a una potencia. Esto se llama la representación canónica o forma estándar del número.
Por ejemplo:
- 999 = 3³ × 37
- 1000 = 2³ × 5³
- 1001 = 7 × 11 × 13
Esta forma es muy útil porque nos muestra los "ingredientes" primos de cada número.
La Importancia de los Números Primos
El teorema fundamental nos muestra lo importantes que son los números primos. Son como los "ladrillos básicos" con los que se construyen todos los demás números enteros positivos a través de la multiplicación. Y lo más asombroso es que cada número se construye con una combinación única de estos ladrillos.
Saber la factorización en primos de un número nos permite encontrar todos sus divisores, tanto primos como compuestos. Por ejemplo, si sabemos que 6936 = 2³ · 3 · 17², podemos encontrar todos sus divisores. Cualquier divisor de 6936 tendrá la forma 2a · 3b · 17c, donde 'a' puede ser 0, 1, 2 o 3; 'b' puede ser 0 o 1; y 'c' puede ser 0, 1 o 2. Multiplicando las opciones (4 · 2 · 3), obtenemos un total de 24 divisores positivos.
Además, si conocemos la factorización en primos de dos números, podemos encontrar fácilmente su máximo común divisor (MCD) y su mínimo común múltiplo (mcm). Por ejemplo, el MCD de 6936 y 1200 es 2³ · 3 = 24.
Demostración del Teorema
Aunque el teorema parece sencillo, demostrarlo requiere pasos lógicos. La primera demostración completa fue hecha por Carl Friedrich Gauss.
La demostración se divide en dos partes:
- Existencia: Demostrar que todo número entero positivo mayor que 1 se puede escribir como un producto de números primos.
- Unicidad: Demostrar que esta forma de escribir el número es única, sin importar el orden de los factores.
Demostración de la Descomposición en Primos
Imagina que hay un número entero positivo que no se puede escribir como un producto de primos. Si existiera, habría un número más pequeño, digamos n, con esa característica.
- n no puede ser 1 (por la regla).
- n no puede ser un número primo (porque un primo es un producto de sí mismo).
Entonces, n debe ser un número compuesto. Esto significa que n se puede dividir por otros números más pequeños que no son 1 ni n. Digamos que n = a · b, donde a y b son números más pequeños que n. Como n es el número más pequeño que no se puede factorizar en primos, entonces a y b sí deben poder factorizarse en primos. Pero si a y b se factorizan en primos, entonces n = a · b también se puede factorizar en primos. ¡Esto es una contradicción! Esta contradicción significa que nuestra suposición inicial (que existe un número que no se puede factorizar en primos) es falsa. Por lo tanto, ¡todo número entero se puede descomponer en un producto de primos!
Demostración de la Unicidad
Para demostrar que la factorización es única, usamos el lema de Euclides: si un número primo p divide a un producto ab, entonces p debe dividir a a o a b (o a ambos).
Imagina que un número N tiene dos factorizaciones diferentes en primos: N = p₁ · p₂ · ... · pm N = q₁ · q₂ · ... · qn
Tomemos un primo p₁ del primer producto. Como p₁ divide a N, también debe dividir al segundo producto (q₁ · q₂ · ... · qn). Por el lema de Euclides, p₁ debe dividir a uno de los primos qj. Como todos son primos, p₁ debe ser igual a ese qj. Podemos entonces "cancelar" p₁ y qj de ambos lados. Si seguimos haciendo esto, veremos que todos los primos en ambas factorizaciones deben ser los mismos. Esto demuestra que la factorización es única.
Véase también
En inglés: Fundamental theorem of arithmetic Facts for Kids
de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik
