Teorema fundamental del álgebra para niños
El teorema fundamental del álgebra es una idea muy importante en las matemáticas. Nos dice algo clave sobre los polinomios, que son expresiones matemáticas con sumas, restas y multiplicaciones de números y variables elevadas a potencias (como x², x³, etc.).
Este teorema establece que cualquier polinomio que no sea solo un número (es decir, que tenga un grado mayor que cero) siempre tiene al menos una "raíz". Una raíz es un valor que, al sustituirlo en el polinomio, hace que el resultado sea cero.
Lo interesante es que estas raíces pueden ser números complejos. Los números complejos son una extensión de los números reales (los que usamos normalmente, como 1, -5, 3.14, etc.). Los números complejos incluyen una parte "real" y una parte "imaginaria" (que usa la letra 'i', donde i² = -1).
Aunque al principio parece una afirmación sencilla, el teorema implica algo más profundo: un polinomio de grado n (donde n es la potencia más alta de la variable) tiene exactamente n raíces complejas. Algunas de estas raíces pueden repetirse, y a eso lo llamamos "multiplicidad". Por ejemplo, si un polinomio de grado 3 tiene una raíz que se repite dos veces, se cuenta como dos raíces.
En resumen, el teorema fundamental del álgebra nos asegura que siempre podemos encontrar las raíces de un polinomio si buscamos en el conjunto de los números complejos.
Contenido
¿Cómo se descubrió este teorema?
La historia de este teorema es larga y tiene muchos protagonistas.
Primeras ideas sobre las raíces
En 1608, un matemático llamado Pedro Rothe sugirió en su libro Arithmetica Philosophica que una ecuación polinómica de grado n (con números reales) podría tener n soluciones. Unos años después, en 1629, Albert Girard fue más allá en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre. Él afirmó que una ecuación de grado n tiene n soluciones. Aunque no especificó que debían ser números complejos, dio un ejemplo donde una ecuación de grado 4 tenía cuatro soluciones, incluyendo números complejos.
Sin embargo, no todos estaban de acuerdo. En 1702, Leibniz y más tarde Nikolaus Bernoulli pensaron lo contrario.
La contribución de Euler
En 1742, el famoso matemático Leonhard Euler le escribió una carta a Nikolaus Bernoulli. En ella, Euler demostró que algunos polinomios que se creía que no podían factorizarse de cierta manera, sí podían hacerlo usando números complejos. Por ejemplo, mostró cómo un polinomio como x⁴ + a⁴ podía escribirse como el producto de dos polinomios de grado 2.
Los primeros intentos de demostración
El primer intento de demostrar el teorema lo hizo Jean Le Rond d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un pequeño error, ya que se basaba en un teorema que aún no había sido probado. Después de él, otros grandes matemáticos como Euler (1749), Joseph-Louis de Lagrange (1772) y Pierre Simon Laplace (1795) también intentaron demostrarlo.
A finales del siglo XVIII, Carl Friedrich Gauss (1799) presentó una demostración, pero también tenía algunos puntos por mejorar. Finalmente, en 1806, Jean-Robert Argand publicó una demostración correcta del teorema. Gauss, por su parte, presentó otras demostraciones en 1816 y 1849.
El primer libro de texto que incluyó una demostración de este teorema fue Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821) de Augustin Louis Cauchy.
¿Qué nos dice el teorema?
El teorema fundamental del álgebra se puede entender de varias maneras, todas ellas equivalentes:
- Todo polinomio con una variable y un grado mayor o igual a 1, que tenga coeficientes reales o complejos, tiene al menos una raíz (que puede ser real o compleja).
- Un polinomio con una variable, que no sea una constante y tenga coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado. Esto significa que si el grado del polinomio es n, entonces la ecuación del polinomio igual a cero tiene exactamente n soluciones complejas, contando las veces que una raíz se repite (su multiplicidad).
- Cualquier polinomio complejo de grado n (si n es 1 o más) se puede escribir como una multiplicación de n polinomios más simples, cada uno de grado 1. Esto se ve así:
Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(z) = a_n \, (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n). Aquí, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): z_1, z_2, \ldots, z_n son las raíces del polinomio.
Consecuencias importantes
Una de las consecuencias más interesantes de este teorema es que cualquier polinomio con coeficientes reales (los números que usamos en la vida diaria) y de grado mayor que cero, se puede escribir como un producto de polinomios más sencillos. Estos polinomios más sencillos pueden ser de grado 1 (como x+m) o de grado 2 (como x²+bx+c) que no tienen raíces reales.
Esto es muy útil en muchas áreas de las matemáticas y la ingeniería, porque nos permite entender mejor cómo se comportan los polinomios y cómo encontrar sus soluciones.
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Carl Friedrich Gauss
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Leonhard Euler
Véase también
En inglés: 