Pequeño teorema de Fermat para niños

El pequeño teorema de Fermat es una idea muy importante en el mundo de los números primos y las divisiones. Fue descubierto por el matemático francés Pierre de Fermat en el siglo XVII. Este teorema nos ayuda a entender cómo se comportan los números cuando los elevamos a una potencia y luego los dividimos por un número primo.

En palabras más sencillas, el teorema dice que si tomas un número cualquiera (llamémosle a) y lo elevas a la potencia de un número primo (llamémosle p), y luego le restas el número original a, el resultado siempre será divisible por ese número primo p.

También se puede expresar de otra forma:

Esto significa que si a y p no tienen factores comunes (aparte del 1), entonces si elevas a a la potencia de p-1, el resultado, al dividirlo por p, dejará un resto de 1. Esto se conoce como aritmética modular, que es como una "aritmética de los restos".

Este teorema es muy útil para saber si un número es primo (lo que se llama test de primalidad) y también en criptografía, que es el arte de crear y descifrar códigos secretos.

Es importante no confundir este teorema con el famoso último teorema de Fermat, que fue un problema matemático sin resolver durante más de 350 años hasta que Andrew Wiles lo demostró en 1995.

Historia del Pequeño Teorema de Fermat

Orígenes en la antigua China

Parece que la idea de trabajar con los restos de las divisiones (aritmética modular) ya interesaba a los matemáticos en la antigua China. Se cree que ellos estudiaron números especiales como 2^p − 2.

Los matemáticos chinos propusieron una idea, a veces llamada la hipótesis china, que decía que un número p es primo si y solo si 2^p ≡ 2 (mod p). Esto significa que si 2 elevado a p y luego dividido por p da el mismo resto que 2 dividido por p, entonces p es primo.

Es cierto que si p es primo, entonces 2^p ≡ 2 (mod p). Esta es una parte del pequeño teorema de Fermat. Sin embargo, lo contrario no siempre es verdad. Hay números que no son primos pero cumplen esta condición, por lo que la hipótesis china no es completamente correcta.

Se piensa que esta idea china pudo haber surgido unos 2000 años antes de que Fermat trabajara en el siglo XVII. Aunque no era del todo precisa, es sorprendente que los matemáticos de la antigüedad ya tuvieran estas ideas.

El descubrimiento de Pierre de Fermat

Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Lo mencionó en una carta a su amigo Bernard Frénicle de Bessy el 18 de octubre de 1640. En ella, Fermat escribió que p divide a a^p-1 - 1 cuando p es primo y a no tiene factores comunes con p.

Aunque hoy lo conocemos como el pequeño teorema de Fermat, durante mucho tiempo se le llamó simplemente teorema de Fermat. El término "pequeño teorema de Fermat" fue usado por primera vez por el matemático alemán Kurt Hensel en 1913.

¿Cómo se demuestra el teorema?

Fermat mencionó este resultado en su carta, pero no incluyó la prueba, como solía hacer. Dijo que la demostración sería demasiado larga.

Leonhard Euler dio la primera demostración formal del teorema en 1736.

La primera demostración publicada de este teorema la hizo Leonhard Euler en 1736. Curiosamente, Gottfried Leibniz ya había escrito una prueba similar en un manuscrito personal alrededor de 1683, pero nunca la publicó. Más tarde, Carl Friedrich Gauss también publicó otra prueba en 1801.

La prueba original de Euler es bastante sencilla de entender si tienes conocimientos básicos de álgebra. Se basa en un método llamado inducción matemática. Una parte importante de la demostración usa la idea de que si p es un número primo, entonces ciertos números llamados coeficientes binomiales son divisibles por p.

Ejemplos del Pequeño Teorema de Fermat

Aquí tienes algunos ejemplos para entender mejor el teorema:

• Si p = 3 y a = 5: 5³ − 5 = 125 − 5 = 120. Y 120 es divisible por 3 (120 ÷ 3 = 40).
• Si p = 2 y a = 7: 7² − 7 = 49 − 7 = 42. Y 42 es divisible por 2 (42 ÷ 2 = 21).
• Si p = 5 y a = 12: 12⁵ − 12 = 248.832 − 12 = 248.820. Y 248.820 es divisible por 5.
• Si p = 7 y a = -3: (−3)⁷ + 3 = −2187 + 3 = −2184. Y −2184 es divisible por 7.

El teorema también se usa para encontrar el resto de divisiones con números muy grandes. Por ejemplo, para hallar el resto de 8¹⁸⁷ al dividirlo por 13, el teorema de Fermat nos ayuda a simplificar el problema.

Aplicaciones del Pequeño Teorema de Fermat

Este teorema tiene muchas aplicaciones, especialmente en criptografía y en la identificación de números primos.

Aplicaciones en matemáticas

El pequeño teorema de Fermat se ha usado para analizar cómo se pueden descomponer números grandes en sus factores primos. Por ejemplo, Fermat usó un método similar para decir si un número muy grande era primo o si se podía dividir en otros números primos.

Euler también usó este teorema para demostrar que una idea de Fermat sobre los "números de Fermat" (números de la forma 2²ⁿ + 1) no siempre era cierta. Fermat pensaba que todos eran primos, pero Euler encontró un ejemplo que no lo era.

Criptografía de clave pública

La criptografía asimétrica es un sistema para enviar mensajes secretos usando dos claves: una clave pública para cifrar (convertir el mensaje en código) y una clave privada para descifrar (volver a leer el mensaje).

Muchos sistemas de códigos asimétricos, como el famoso RSA, se basan en la dificultad de encontrar los dos factores primos de un número muy grande. El pequeño teorema de Fermat es fundamental para generar estos grandes números primos o para verificar si un número es primo, lo que es clave para la seguridad de estos sistemas.

Test de primalidad

El pequeño teorema de Fermat nos da una condición necesaria para que un número sea primo. Esto significa que si un número p es primo, entonces siempre se cumplirá que a^p-1 - 1 es divisible por p (o a^p-1 ≡ 1 (mod p)) para cualquier a que no tenga factores comunes con p. Esta idea es la base del test de primalidad de Fermat.

Este test funciona así: para un número n que queremos comprobar si es primo, elegimos varios números a más pequeños que n. Si para alguno de esos a la condición a^n-1 ≡ 1 (mod n) no se cumple, entonces sabemos con seguridad que n no es primo. Si se cumple para todos los a que probamos, entonces n es "posiblemente primo".

Existen versiones más avanzadas de este test, como el test de primalidad de Miller-Rabin, que son más fiables.

Números pseudoprimos

A veces, un número compuesto (que no es primo) puede "engañar" al test de Fermat y parecer primo para algunas bases a. A estos números se les llama pseudoprimos. Por ejemplo, el número 341 no es primo (es 11 x 31), pero si probamos con a = 2, veremos que 2^341-1 ≡ 1 (mod 341). Esto significa que 341 se comporta como un primo para la base 2.

Hay números especiales llamados números de Carmichael que son compuestos, pero cumplen la condición del teorema para todas las bases a que no tienen factores comunes con ellos. El número 1729 es un ejemplo de número de Carmichael.

Debido a los pseudoprimos, los tests de primalidad basados en el teorema de Fermat son "estadísticos". Esto significa que siempre hay una pequeña probabilidad de que un número que pasa el test no sea realmente primo.

Generalizaciones del teorema

El pequeño teorema de Fermat se puede extender a ideas más generales. Una de ellas es el teorema de Euler, que dice que para cualquier número n y cualquier a que no tenga factores comunes con n, se cumple que a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Aquí, φ(n) es la función φ de Euler, que cuenta cuántos números menores que n no tienen factores comunes con n. Si n es un número primo, entonces φ(n) es igual a n - 1, y volvemos al pequeño teorema de Fermat.

También existe el teorema de Carmichael, que es una generalización aún mayor y usa la función de Carmichael.

Véase también

En inglés: Fermat's little theorem Facts for Kids

• Aritmética modular
• Teorema de Euler
• Demostraciones del pequeño teorema de Fermat
• Teorema de Carmichael