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Operación binaria para niños

Enciclopedia para niños
Operación binaria 1.svg

Se define como operación binaria (o ley de composición) aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria producto, representando la operación por el signo \circ , es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:

\begin{array}{rccl} \circ : & A \times B & \longrightarrow & C \\ & (a,b) & \longmapsto & c \end{array}

Podemos expresar la operación:

a \circ b = c \; , \quad \circ (a, b) = c \; , \quad (a, b) \xrightarrow{\circ} c

Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:

\begin{array}{rccl} + : & N \times N & \longrightarrow & N \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a + b \end{array}

y tenemos que:

2 + 3 = 5 \; , \quad +(2,3) = 5 \; , \quad (2, 3) \xrightarrow{+} 5

El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Clase de operación binaria

Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.

AL Operación binaria.svg

Operación interna

Artículo principal: Operación interna

Si a cada par de valores (a, b) de A la operación le corresponde un valor c de A:

\begin{array}{rccl} \circledast : & A \times A & \longrightarrow & A \\ & (a , b) & \longmapsto & c = a \circledast b \end{array}

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones V^3 y la adición de vectores, se tiene:

\begin{array}{rccl} + : & V^3 \times V^3 & \longrightarrow & V^3 \\ & (\mathbf{a},\mathbf{b}) & \longmapsto & \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \end{array}

que la suma de dos vectores de V^3 es otro vector de V^3, por ejemplo, dados los vectores:

\mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}
\mathbf{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

su suma es:

\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}
\mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) + (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})
\mathbf{c} = (a_x+b_x )\mathbf{i} + (a_y+b_y )\mathbf{j} + (a_z+b_z )\mathbf{k}
\mathbf{c} = c_x \mathbf{i} + c_y \mathbf{j} + c_z \mathbf{k}

Operación externa

Artículo principal: Operación externa

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

  • Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,
\begin{array}{rccl} \star : & A \times B & \longrightarrow & A \\ &(a,b) & \longmapsto & c = a \star b \end{array}

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:

\begin{array}{rccl} \cdot : & V^3 \times R & \longrightarrow & V^3 \\ & (\mathbf{a},b) & \longmapsto & \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot b \end{array}

así, dado el vector:

\mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:

\mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot b \; , \quad \mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \cdot b \; , \quad \mathbf{c} = (a_x \cdot b) \mathbf{i} + (a_y \cdot b) \mathbf{j} + (a_z \cdot b) \mathbf{k}
  • Si la operación es de la forma:
\begin{array}{rccl} \star : & A \times A & \longrightarrow & B \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \star b \end{array}

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:

\begin{array}{rccl} \circ : & V^3 \times V^3 & \longrightarrow & R \\ & (\mathbf{a},\mathbf{b}) & \longmapsto & c = \mathbf{a} \circ \mathbf{b} \end{array}

así dados los vectores:

\mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}
\mathbf{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

su producto escalar será:

\mathbf{c} = \mathbf{a} \circ \mathbf{b} \; , \quad \mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \circ (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}) \; , \quad \mathbf{c} = a_x \cdot b_x +a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z
  • Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:
\begin{array}{rccl} \star : & A \times B & \longrightarrow & C \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \star b \end{array}

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional

\begin{array}{rccl} / : & Z \times N & \longrightarrow & Q \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a / b \end{array}

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Binary operation Facts for Kids

  • Operador
    • Operación nularia
    • Operación unaria
    • Operación ternaria
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