Esfera de Riemann para niños

La esfera de Riemann es un concepto matemático que nos ayuda a entender mejor los números complejos y el infinito. Imagina que tomas un plano infinito, que es donde viven los números complejos, y le añades un punto especial que representa el infinito. Al hacer esto, puedes "cerrar" el plano y convertirlo en una esfera.

Esta esfera recibe su nombre del matemático Bernhard Riemann, quien vivió en el siglo XIX. Es una forma geométrica de visualizar los números complejos extendidos, que incluyen todos los números complejos normales más este punto del infinito.

La esfera de Riemann es muy útil en matemáticas, especialmente en una rama llamada análisis complejo. Permite que algunas operaciones, como la división por cero, tengan un resultado definido. Por ejemplo, si divides 1 entre 0, el resultado se considera el infinito en la esfera de Riemann. Esto ayuda a que muchas funciones matemáticas sean más "completas" y continuas, incluso en puntos donde normalmente tendrían problemas.

En geometría, la esfera de Riemann es un ejemplo importante de lo que se conoce como una superficie de Riemann. También tiene aplicaciones en otras áreas como la mecánica cuántica y la física.

¿Qué son los números complejos extendidos?

Los números complejos extendidos son el conjunto de todos los números complejos que ya conoces, a los que se les añade un símbolo especial para el infinito (). Este conjunto se puede escribir como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbf{C}\cup\{\infty\} .

Desde un punto de vista geométrico, este conjunto se visualiza como la esfera de Riemann.

Operaciones con el infinito

Para que los números complejos extendidos sean útiles, se definen algunas reglas para operar con el infinito:

• Si sumas cualquier número complejo () con el infinito, el resultado es infinito: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): z+\infty=\infty .
• Si multiplicas cualquier número complejo diferente de cero () por el infinito, el resultado es infinito: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): z\times\infty=\infty .
• El infinito multiplicado por el infinito también es infinito: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \infty\times\infty = \infty .

Sin embargo, algunas operaciones siguen siendo indefinidas, como o Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 0 \times \infty .

En cuanto a la división, se define así:

• Cualquier número complejo diferente de cero () dividido por cero es infinito: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{z}{0} = \infty .
• Cualquier número complejo diferente de cero () dividido por infinito es cero: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{z}{\infty} = 0 .
• También, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \infty/0 = \infty y Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 0/\infty = 0 .

Las divisiones y Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \infty/\infty siguen siendo indefinidas.

Funciones racionales en la esfera

Una función racional es una función que se puede escribir como una fracción de dos polinomios, por ejemplo, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(z) = g(z)/h(z) . Normalmente, estas funciones no están definidas cuando el denominador Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): h(z) es cero.

En la esfera de Riemann, podemos "extender" estas funciones para que sean continuas. Si el denominador Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): h(z_0) es cero en un punto , pero el numerador Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): g(z_0) no lo es, entonces definimos Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(z_0) como .

Además, podemos definir el valor de la función cuando se acerca al infinito (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(\infty) ). Este valor puede ser un número finito o el infinito.

Por ejemplo, considera la función: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(z) = \frac{6z^2 + 1}{2z^2 - 50} Si es o Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): -5 , el denominador Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (2z^2 - 50) se hace cero. En la esfera de Riemann, definimos Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(\pm 5) = \infty . Cuando se hace muy grande (tiende a ), la función se acerca a . Así que definimos Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(\infty) = 3 . Con estas definiciones, la función se vuelve continua en toda la esfera de Riemann.

La esfera como una variedad compleja

Imagina que tienes dos planos complejos. Puedes "pegarlos" de una manera especial para formar la esfera de Riemann. Piensa en un plano como una "carta" o mapa de una parte de la esfera, y el otro plano como otra carta que cubre el resto. Para unir estos dos planos, identificamos cada número complejo que no sea cero en el primer plano con el inverso de un número complejo que no sea cero en el segundo plano. La relación es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(z) = \frac{1}{z} . Esto significa que los planos se superponen en casi todas partes. Cada plano aporta un punto que falta en el otro: el origen de un plano se convierte en el infinito del otro, y viceversa. Así, la esfera de Riemann es una esfera con una estructura matemática especial que permite que cada punto de la esfera se relacione con un número complejo.

Visualizando la esfera

Proyección estereográfica de un número complejo A sobre un punto α de la esfera de Riemann

Podemos visualizar la esfera de Riemann como una esfera unitaria (una esfera con radio 1) en el espacio tridimensional. Para hacer esto, usamos algo llamado proyección estereográfica. Imagina que la esfera está apoyada sobre el plano complejo. Si colocas una fuente de luz en el "polo norte" de la esfera (el punto más alto), la sombra de cualquier punto de la esfera (excepto el polo norte) se proyectará sobre el plano. Esta sombra es el número complejo correspondiente a ese punto de la esfera. El polo norte de la esfera es el punto que se proyecta al infinito en el plano complejo. De manera similar, si colocas la luz en el "polo sur", puedes proyectar los puntos de la esfera al plano de otra manera. Al usar estas dos proyecciones, podemos cubrir toda la esfera con dos "mapas" del plano complejo, y así entender cómo el plano complejo "se envuelve" para formar la esfera.

Transformaciones en la esfera

Las transformaciones de Möbius son un tipo especial de funciones que "mueven" los puntos de la esfera de Riemann de una manera que preserva su estructura. Son funciones de la forma: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(\zeta) = \frac{a \zeta + b}{c \zeta + d} donde , , y son números complejos y no es cero. Estas transformaciones pueden ser cosas como agrandar o girar la esfera, o invertirla. Son muy importantes para entender las simetrías de la esfera de Riemann.

Usos de la esfera de Riemann

La esfera de Riemann tiene muchas aplicaciones en diferentes campos:

• En el análisis complejo, ayuda a estudiar funciones que tienen "agujeros" o puntos donde no están definidas, al permitir que esos puntos se mapeen al infinito.
• En la mecánica cuántica, se utiliza para representar conceptos como la polarización de la luz o el espín de partículas muy pequeñas.
• En la teoría de cuerdas, que es una idea en física que intenta explicar el universo, las "láminas universales" de las cuerdas se describen como superficies de Riemann, y la esfera de Riemann es la más sencilla de ellas.

Véase también

En inglés: Riemann sphere Facts for Kids

• Punto del infinito