Divisibilidad para niños

En matemáticas, cuando hablamos de números enteros, decimos que un número b es divisible entre otro número a (que no sea cero) si al dividir b entre a, el resultado es exacto, es decir, el resto es cero.

Esto se puede escribir como , que significa "a divide a b", o "a es un divisor de b". También podemos decir que "b es un múltiplo de a". Por ejemplo, 6 es divisible entre 3, porque 3 multiplicado por 2 da 6. Pero 6 no es divisible entre 4, porque al dividir 6 entre 4, el resto no es cero.

Cualquier número natural es divisible entre 1 y entre sí mismo. Los números mayores que 1 que solo tienen estos dos divisores se llaman números primos. Los que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.

¿Qué significa que un número sea divisible?

Un número entero a es divisible entre otro número entero b (que no sea cero) si podemos encontrar un número entero q tal que al multiplicar b por q obtenemos a. Es decir, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): a = b \cdot q .

Cuando esto ocurre, decimos que b divide a a, y lo escribimos como . Por ejemplo, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 3 | 12 es cierto porque Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 12 = 3 \cdot 4 . Pero no es cierto, porque no hay un número entero que, multiplicado por 3, dé 17. Si b no es divisor de a, se escribe Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): b \nmid a . Es importante saber que ningún número puede ser dividido por cero, excepto el propio cero.

¿Qué es un divisor propio?

Un divisor propio de un número entero n es cualquier divisor de n que sea diferente de n mismo. El número n se considera un divisor "impropio" de sí mismo.

Por ejemplo, los divisores propios del número 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Si consideramos también los números negativos, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.

Hay algunos casos especiales:

• 1 y -1 son divisores de todos los números enteros.
• Cada número entero es divisor de 0.
• Los números divisibles entre 2 se llaman pares, y los que no lo son se llaman impares.
• Si un divisor d de a solo tiene como divisores a 1 y a sí mismo, entonces d es un divisor primo de a. El 1 es el único número entero que tiene un solo divisor positivo.

Propiedades importantes de la divisibilidad

Las propiedades nos ayudan a entender cómo funciona la divisibilidad entre números enteros. Si tenemos tres números enteros cualesquiera, a, b y c, se cumplen estas reglas:

• Propiedad reflexiva: Si a no es cero, entonces a siempre se divide a sí mismo ().
• Igualdad de valores absolutos: Si a divide a b y b divide a a, entonces el valor absoluto de a es igual al valor absoluto de b (es decir, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): |a|= |b| ). Esto significa que son el mismo número o uno es el negativo del otro.
• Propiedad transitiva: Si a divide a b y b divide a c, entonces a también divide a c ().
• Relación de tamaño: Si a divide a b y b no es cero, entonces el valor absoluto de a es menor o igual que el valor absoluto de b ().
• Divisibilidad de sumas y restas: Si a divide a b y a divide a c, entonces a también divide a la suma o resta de b y c (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): a\mid b \pm c ).
• Divisibilidad por cero y por uno: Cualquier número entero n divide a 0 (), y 1 divide a cualquier número entero n ().

¿Cómo calcular el número de divisores?

Para saber cuántos divisores positivos tiene un número n, primero lo descomponemos en sus factores primos. Si n es igual a Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}} (donde son números primos y son sus exponentes), entonces el número total de divisores positivos de n se calcula multiplicando cada exponente más uno:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1)

Cada uno de estos divisores tendrá la forma , donde cada es un número entre 0 y .

Criterios de divisibilidad: trucos para saber si un número es divisible

Estos criterios son reglas sencillas que nos permiten saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de hacer la división completa. ¡Son muy útiles!

Importante sobre los criterios

Todos estos criterios funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal (el que usamos normalmente, con base 10). Si el número está en otra base, estos criterios podrían no funcionar. Por ejemplo, el número 102 en base 7 (escrito como 102₇) termina en una cifra par (2), pero no es divisible entre 2. Esto es porque en base 10, 102₇ es igual a 51, que es un número impar.

Otros usos de la divisibilidad

La idea de divisibilidad no solo se aplica a los números enteros que conocemos. También se usa en otros campos de las matemáticas, como:

• Enteros gaussianos (un tipo especial de números complejos).
• Polinomios (expresiones con letras y números).
• Números de Fibonacci (una secuencia numérica especial).

Véase también

En inglés: Divisor Facts for Kids

• Tabla de divisores
• Máximo común divisor
• Conmensurabilidad