Distribución uniforme continua para niños

Para la distribución discreta, véase Distribución uniforme discreta.

Datos para niños Uniforme
Utilizando convención de máximo Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$a,b \in\mathbb{R}$
Dominio	$x\in[a,b]$
Función de densidad (pdf)	$\frac{1}{b - a} \quad a\leq x\leq b$
Función de distribución (cdf)	$\frac{x-a}{b-a} \quad a \le x < b$
Media	$\frac{a+b}{2} \,\!$
Mediana	$\frac{a+b}{2} \,\!$
Moda	cualquier valor en $[a,b] \,\!$
Varianza	$\frac{(b-a)^2}{12} \,\!$
Coeficiente de simetría	$0 \,\!$
Curtosis	$\frac{-6}{5} \,\!$
Entropía	$\ln(b-a) \,\!$
Función generadora de momentos (mgf)	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{e^{tb}-e^{ta</td></tr><tr><td class="noprint" colspan="3" style="text-align:left;"></td></tr></table><!--IB_END-->{t(b-a)} \,\! \|car = $\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!$ }} En el mundo de la teoría de probabilidad y la estadística, la distribución uniforme continua es un tipo de distribución de probabilidad para números que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango. Imagina que tienes un juego donde todos los resultados posibles entre un valor mínimo y uno máximo tienen la misma oportunidad de ocurrir. Eso es una distribución uniforme continua. Esta distribución se define por dos números: `a` (el valor más bajo) y `b` (el valor más alto). El rango puede incluir o no incluir `a` y `b`. A menudo se escribe como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): U(a,b) , donde la `U` significa "uniforme". La idea principal es que cualquier parte del rango que tenga la misma longitud es igual de probable. Contenido ¿Qué es la distribución uniforme continua? Notación y cómo se representa Función de densidad de probabilidad (FDP) Función de distribución acumulada (FDA) Ejemplo 1: Calcular una probabilidad Ejemplo 2: Probabilidad condicional Características importantes Media (promedio) Varianza (dispersión) Uniformidad Distribución uniforme estándar Simetría Transformada integral de probabilidad Aplicaciones prácticas Muestreo de una distribución uniforme Muestreo de una distribución cualquiera Error de cuantificación Historia de la distribución uniforme Galería de imágenes Véase también ¿Qué es la distribución uniforme continua? Notación y cómo se representa Cuando hablamos de una variable aleatoria continua que sigue una distribución uniforme, lo escribimos así: $X\sim\operatorname{U}(a,b)$ o Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X\sim\operatorname{Unif}(a,b) . Esto significa que la variable `X` puede tomar cualquier valor entre `a` y `b` con la misma probabilidad. Función de densidad de probabilidad (FDP) La función de densidad de probabilidad (FDP) nos dice qué tan probable es encontrar un valor en un punto específico dentro del rango. Para una distribución uniforme continua, esta función es muy sencilla: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f_X(x)=\frac{1}{b-a} Esto es válido para cualquier valor `x` que esté entre `a` y `b`. Fuera de ese rango, la probabilidad es cero. Piensa en la FDP como un rectángulo. La base de este rectángulo es la distancia entre `a` y `b` (es decir, `b-a`), y la altura es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{1}{b-a} . Si el rango es más grande, la altura del rectángulo es más pequeña, lo que significa que la probabilidad de caer en un punto exacto es menor. Función de distribución acumulada (FDA) La función de distribución acumulada (FDA) nos dice la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual a un valor específico. Para la distribución uniforme continua, se calcula así: $F_X(x)= \begin{cases} 0 & x<a \\ \displaystyle\frac{x-a}{b-a} & a\leq x<b \\ 1 & x\geq b \end{cases}$ Esto significa que si `x` es menor que `a`, la probabilidad es 0. Si `x` es mayor o igual que `b`, la probabilidad es 1 (es decir, es seguro que el valor estará dentro o antes de ese punto). Y si `x` está entre `a` y `b`, la probabilidad aumenta de forma constante. Ejemplo 1: Calcular una probabilidad Imagina que tienes una variable `X` que sigue una distribución uniforme entre 0 y 23, es decir, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X \sim U(0,23) . ¿Cuál es la probabilidad de que `X` esté entre 2 y 18? Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(2 < X < 18) = (18-2) \cdot \frac{1}{23-0} = \frac{16}{23} Esto significa que hay una probabilidad de 16/23 (aproximadamente 0.696) de que `X` caiga en ese intervalo. En un gráfico, esto sería el área de un rectángulo con base 16 y altura 1/23. Ejemplo 2: Probabilidad condicional Ahora, con la misma variable Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X \sim U(0,23) , ¿cuál es la probabilidad de que `X` sea mayor que 12, sabiendo que ya es mayor que 8? Esto se llama probabilidad condicional. Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(X > 12 \ \| \ X > 8) = (23-12) \cdot \frac{1}{23-8} = \frac{11}{15} Aquí, el rango de posibilidades cambia. Como ya sabemos que `X` es mayor que 8, nuestro nuevo punto de inicio es 8. Así, el nuevo rango va de 8 a 23. La probabilidad es 11/15. Características importantes Media (promedio) La media o promedio de una variable aleatoria `X` con distribución uniforme entre `a` y `b` es simplemente el punto medio del intervalo: $\operatorname{E}[X]=\frac{a+b}{2}$ Si dibujas la función de densidad, verás que la media está justo en el centro del rectángulo. Varianza (dispersión) La varianza nos dice qué tan dispersos están los datos alrededor de la media. Para una distribución uniforme, la varianza de `X` es: $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$ Cuanto mayor sea la diferencia entre `b` y `a`, mayor será la varianza, lo que significa que los datos están más extendidos. Uniformidad Una característica clave de esta distribución es que la probabilidad de que un valor caiga en un intervalo de cierta longitud es siempre la misma, sin importar dónde esté ese intervalo, siempre y cuando esté dentro del rango `[a,b]`. Por ejemplo, la probabilidad de que un valor esté entre 1 y 3 es la misma que entre 5 y 7, si ambos intervalos tienen la misma longitud y están dentro del rango total. Distribución uniforme estándar Un caso especial muy importante es cuando `a=0` y `b=1`. A esto se le llama distribución uniforme estándar, y se escribe $X\sim\operatorname{U}(0,1)$ . Para esta distribución, las cosas se simplifican mucho: La función de densidad es simplemente $f_X(x)=1$ para cualquier `x` entre 0 y 1. La función de probabilidad acumulada es $F_X(x)=x$ para `x` entre 0 y 1. La media es $\frac{1}{2}$ . La varianza es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{1}{12} . Simetría Si tienes una variable `X` que sigue una distribución uniforme estándar $U(0,1)$ , entonces `1-X` también sigue una distribución uniforme estándar $U(0,1)$ . Esto muestra una simetría interesante. Transformada integral de probabilidad Un uso muy útil de la distribución uniforme estándar es para simular valores aleatorios de otras distribuciones. Si tienes una variable aleatoria `Y` con una función de distribución `F_Y`, puedes transformar `Y` para obtener una variable `X` que sigue una distribución uniforme estándar. Esto es muy útil en simulaciones por computadora. Aplicaciones prácticas Muestreo de una distribución uniforme En la estadística y la simulación, a menudo necesitamos generar números aleatorios. Muchos lenguajes de programación tienen funciones que crean números pseudoaleatorios que se distribuyen de manera uniforme estándar (entre 0 y 1). Si tienes un número `u` generado de una distribución uniforme estándar, puedes transformarlo para que siga cualquier otra distribución uniforme `U(a,b)` usando la fórmula: `a + (b - a) * u`. Muestreo de una distribución cualquiera La distribución uniforme es la base para generar números aleatorios que sigan casi cualquier otra distribución. Un método común es el método de muestreo de transformación inversa. Este método usa la función de distribución acumulada de la distribución que quieres simular. Por ejemplo, para la distribución normal, que es muy común, existe un método llamado Método de Box-Muller que usa dos variables aleatorias uniformes para generar dos variables aleatorias normales. Error de cuantificación Cuando se convierte una señal analógica (como el sonido) a digital, se produce un pequeño error llamado error de cuantificación. Este error se debe a que los valores se redondean. Si la señal original es mucho más grande que el paso de redondeo, este error se distribuye de forma aproximadamente uniforme. Historia de la distribución uniforme Aunque no se sabe con exactitud cuándo se empezó a hablar de la distribución uniforme, se cree que la idea de "uniforme" o "equiprobable" (que todos los resultados tienen la misma probabilidad) viene de los juegos de dados. En el siglo XVI, Gerolamo Cardano escribió un manual llamado Liber de Ludo Aleae donde hablaba de la probabilidad en los juegos de dados, lo que sentó las bases para entender la equiprobabilidad. Galería de imágenes Función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme. Función de distribución acumulada de la distribución uniforme. Véase también En inglés: Continuous uniform distribution Facts for Kids Distribución uniforme discreta Distribución exponencial Distribución normal Distribución de Poisson Distribución beta

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Distribución uniforme continua para niños

Contenido

¿Qué es la distribución uniforme continua?

Notación y cómo se representa

Función de densidad de probabilidad (FDP)

Función de distribución acumulada (FDA)

Ejemplo 1: Calcular una probabilidad

Ejemplo 2: Probabilidad condicional

Características importantes

Media (promedio)

Varianza (dispersión)

Uniformidad

Distribución uniforme estándar

Simetría

Transformada integral de probabilidad

Aplicaciones prácticas

Muestreo de una distribución uniforme

Muestreo de una distribución cualquiera

Error de cuantificación

Historia de la distribución uniforme

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Véase también