Probabilidad condicionada para niños
La probabilidad condicionada es una idea importante en el mundo de las probabilidades. Nos ayuda a entender la posibilidad de que algo suceda, pero con una información extra. Imagina que ya sabes que un evento ha ocurrido. La probabilidad condicionada te dice qué tan probable es que otro evento ocurra, sabiendo lo que ya pasó.
Por ejemplo, si quieres saber la probabilidad de que llueva mañana (Evento A), pero ya sabes que hoy hizo mucho calor (Evento B), la probabilidad condicionada te ayuda a calcular esa nueva posibilidad. Se escribe como 
, que significa "la probabilidad de que ocurra A, dado que B ya ocurrió".
La fórmula principal para calcularla es: 
Esto significa que para encontrar la probabilidad de A dado B, dividimos la probabilidad de que A y B ocurran juntos (
) entre la probabilidad de que B ocurra (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(B) ).
A veces, la información que tenemos es limitada. Para esos casos, podemos usar el Teorema de Bayes, que nos ayuda a "invertir" la probabilidad condicionada: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(A\mid B) = {{P(B\mid A) P(A)}\over{P(B)}}
Contenido
Probabilidad Condicionada: ¿Qué es y cómo funciona?
La probabilidad condicionada es una herramienta matemática que nos permite ajustar nuestras predicciones. No es lo mismo predecir algo sin ninguna información previa que hacerlo cuando ya tenemos un dato importante.
Entendiendo la Probabilidad Condicional
Imagina que tienes un grupo de resultados posibles para un experimento. Si sabes que uno de esos resultados (o un grupo de ellos) ya ocurrió, el "espacio" de posibilidades se reduce. La probabilidad condicionada se enfoca en este nuevo espacio más pequeño.
Por ejemplo, si lanzas un dado, hay 6 resultados posibles. Si alguien te dice que el resultado fue un número par, tu espacio de posibilidades se reduce a 2, 4 y 6. La probabilidad condicionada te ayuda a calcular nuevas probabilidades dentro de este grupo más pequeño.
La fórmula nos dice que la probabilidad de que A ocurra, sabiendo que B ya ocurrió, es igual a la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo, dividida por la probabilidad de que B ocurra. Es como ver qué parte de B también es A.
Un Ejemplo Práctico: Lanzar Dados
Vamos a usar un ejemplo para entender mejor la probabilidad condicionada. Imagina que lanzas dos dados de seis caras. Queremos saber la probabilidad de que el primer dado muestre un 2, sabiendo que la suma de ambos dados no es mayor que 5.
- Sea D1 el valor del dado 1.
- Sea D2 el valor del dado 2.
Calculando la Probabilidad de un Dado
Primero, veamos todas las combinaciones posibles al lanzar dos dados. Hay 36 combinaciones en total, y cada una tiene la misma probabilidad de ocurrir (1/36).
| + | D2 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| D1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
Si queremos saber la probabilidad de que D1 sea 2, vemos que esto ocurre en 6 de las 36 combinaciones. Así que, P(D1 = 2) = 6/36 = 1/6.
Suma de Dados Menor o Igual a 5
Ahora, consideremos la condición: la suma de los dados (D1 + D2) no es mayor que 5 (es decir, es menor o igual a 5).
| + | D2 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| D1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
Contando los resultados en la Tabla 2, vemos que hay 10 combinaciones donde la suma es menor o igual a 5. Así que, P(D1 + D2 ≤ 5) = 10/36.
La Probabilidad Condicional en Acción
Finalmente, queremos la probabilidad de que D1 sea 2, sabiendo que D1 + D2 ≤ 5. Es decir, P(D1 = 2 | D1 + D2 ≤ 5).
| + | D2 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| D1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
De las 10 combinaciones donde la suma es menor o igual a 5 (Tabla 2), solo 3 de ellas tienen D1 igual a 2 (marcadas en rojo en la Tabla 3).
Entonces, la probabilidad condicionada es 3 de 10, o 3/10 = 0.3. Usando la fórmula:
- Evento A: D1 = 2
- Evento B: D1 + D2 ≤ 5
- P(A y B) = P(D1 = 2 y D1 + D2 ≤ 5) = 3/36 (las combinaciones (2,1), (2,2), (2,3))
- P(B) = P(D1 + D2 ≤ 5) = 10/36
Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(A\mid B)=\tfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \tfrac{3/36}{10/36}=\tfrac{3}{10}
Esto demuestra cómo la probabilidad condicionada nos ayuda a refinar nuestras predicciones cuando tenemos información adicional.
Galería de imágenes
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B) se puede interpretar como, tomando los casos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.
Véase también
En inglés: Conditional probability Facts for Kids
