Derivada parcial para Niños

En matemáticas, la derivada parcial de una función de varias variables es la derivada con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son usadas en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función $f(x,y,\dots)$ con respecto a la variable $x$ se puede denotar de distintas maneras:

\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial}{\partial x}f,D_1f,\partial_x f,f^\prime_x\text{ o } f_x.

Donde $\partial$ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como $D_1 f(x_1, x_2,\cdots,x_n)$ que es la primera derivada respecto a la variable $x_1$ y así sucesivamente.

Cuando una magnitud $A$ es función de diversas variables ( $x,y,z,...$ ), es decir:

A = f\left(x,y,z,...\right)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a dicha función $A$ en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Suponga que $f$ es una función de más de una variable, esto es, suponga que $f$ está dada por

z=f(x,y)=x^2 + xy + y^2

La gráfica de esta función define una superficie en el espacio euclidiano. Para cada punto en esta superficie, hay un número infinito de líneas tangentes.

La gráfica de

z= x^2 + xy + y^2

La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al plano $xz$ y aquellas que son paralelas al plano $yz$ .

Parte de la gráfica en el plano

xz

, en

y=1

. La pendiente de la recta tangente es

3

Para encontrar la pendiente de la línea tangente de la función en $P(1,1)$ que es paralela al plano $xz$ , consideramos a la variable $y$ como constante. La gráfica de la función y este plano se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función en el plano $y=1$ . Encontremos la pendiente de $f$ en el punto $(x,y)$ derivando la función $f$ considerando a $y$ como constante:

\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y

Por lo que en el punto $(1,1)$ (reemplazando en la derivada) la pendiente es $3$ . Esto es, la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ en el punto $(1,1)$ es $3$ , como se muestra en la gráfica.

Definición

Definición formal

Análogamente a la derivada ordinaria (función de una variable real), la derivada parcial está definida como un límite.

Sea $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U\to\mathbb{R}$ una función, la derivada parcial de $f$ en el punto $\mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n)\in U$ con respecto a la $i$ -ésima variable $x_i$ se define como

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

si existe el límite.

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto $\mathbf{a}$ , la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen en un entorno de $\mathbf{a}$ y son continuas, entonces la función $f$ es totalmente diferenciable en ese entorno y la derivada total es continua. En este caso, se dice que $f$ es una función $C^1$ .

La derivada parcial

\frac{\partial f}{\partial x}

puede ser vista como otra función definida sobre $U$ y puede ser de nuevo derivada de forma parcial. Si todas las derivadas parciales mixtas de segundo orden son continuas en un punto, entonces $f$ es una función $C^2$ en ese punto; en tal caso, las derivadas parciales pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}

Ejemplo

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

Geometría

El volumen $V$ de un cono que depende de la altura del cono $h$ y su radio $r$ , está dado por la fórmula

V(r,h) = \frac{\pi r^2h}{3}

Las derivadas parciales de $V$ respecto a $r$ y $h$ son

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial r}&=\frac{2\pi rh}{3} \\ \frac{ \partial V}{\partial h}&=\frac{\pi r^2}{3} \end{align}

respectivamente, la primera de ellas representa la tasa a la que el volumen del cono cambia si el radio varía y su altura se mantiene constante, la segunda de ellas representa la tasa a la que el volumen cambia si la altura varía y su radio se mantiene constante.

La derivada total de $V$ con respecto a $r$ y $h$ son

\frac{ d V}{d r}=\underbrace{\frac{2\pi rh}{3}}_{\frac{\partial V}{\partial r}}+\underbrace{\frac{\pi r^2}{3}}_{\frac{\partial V}{\partial h}}\frac{dh}{dr}

\frac{d V}{d h}=\underbrace{\frac{\pi r^2}{3}}_{\frac{\partial V}{\partial h}}+\underbrace{\frac{2\pi rh}{3}}_{\frac{\partial V}{\partial r}}\frac{dr}{dh}

respectivamente.

Notación

Considere una función

\begin{align} f:\mathbb{R}^3&\to\mathbb{R} \\ (x,y,z)&\mapsto f(x,y,z) \end{align}

Las derivadas parciales de primer orden respecto a la variable $x$ suelen denotarse por

\frac{\partial f}{\partial x}=f_x= \partial_x f

Las derivadas parciales de segundo orden suelen denotarse por

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}=\partial_{xx}f=\partial^2_xf

Las derivadas cruzadas de segundo orden por

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=\partial_{yx}f=\partial_y\partial_xf

Termodinámica

En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:

\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_Z

que significa que $\exists f_{XZ}(\cdot):\ Y = f_{XZ}(X,Z)\,$ y entonces:

\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_Z := \frac{\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}

Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:

\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_{Z_1} \ne \left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_{Z_2}

Ya que la forma precisa de las funciones $f_{XZ_1}(\cdot,\cdot)$ y $f_{XZ_2}(\cdot,\cdot)$ es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.

Derivadas parciales de orden superior

A su vez, la derivada parcial $\partial_{x_i} f$ puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C²; en este caso, las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.

En $\mathbb{R}^2$ , si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = f_{yx}

Véase también

En inglés: Partial derivative Facts for Kids

Derivada
Derivada total
Derivada de Lie
Derivada covariante
Jacobiano

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